কোনো কণার গতিশক্তি ও নিশ্চল শক্তি সমান হলে কোনটি সঠিক? 

Another Explanation (5):

প্রশ্নটি হলো: যদি কোন কণার গতিশক্তি \( KE \) এবং নিশ্চল শক্তি \( PE \) সমান হয়, তাহল??? কণার ভর কত হবে?

ধরি, কণার নিশ্চল ভর \( m_0 \)।

গতিশক্তি \( KE \) ও নিশ্চল শক্তি \( PE \) সমান হলে, তাহলে

\[ KE = PE \]

গতিশক্তি হলো

\[ KE = \frac{1}{2} m v^2 \]

এবং নিশ্চল শক্তি হলো

\[ PE = m c^2 \]

এখানে, \( m \) হলো চলমান ভর, যা মূল ভর \( m_0 \) এর উপর নির্ভর করে।

তাই, যদি চলমান ভরকে \( m \) ধরি, তাহলে

\[ \frac{1}{2} m v^2 = m c^2 \]

এখন, এই সমীকরণে \( m \) সাধারণভাবে কাটা যায়, তবে এখানে লক্ষ্য হলো ভরের সম্পর্ক নির্ণয় করা।

শুধু এই সমীকরণের ভিত্তিতে, আমাদের লক্ষ্য হলো এমন ভর নির্ণয় করা যেখানে এই সমানতা হয়।

এখন, চলমান ভর \( m \) এর জন্য, আমরা জানি যে, relativistic ভর সম্পর্কিত হয়

\[ m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]

এখন, এই ভরের মান দিয়ে, উপরের সমীকরণে substituting করলে, আমরা দেখতে পাবো যে, যখন

\[ KE = PE \]

তখন

\[ \frac{1}{2} m v^2 = m c^2 \]

এবং, এই সমীকরণ থেকে, আমরা দেখতে পাই যে,

\[ v^2 = 2 c^2 \] যা সম্ভব নয়, কারণ \( v \) সর্বোচ্চ \( c \) এর সমান বা কম। তাই, এই প্রশ্নের সোজাসুজি সমাধানে, যদি বলি যে, চলমান ভর \( m \) এর জন্য, যেখানে KE ও PE সমান হয়, তখন

\[ m = 2 m_0 \]

কারণ, relativistic ভরের সূত্র অনুযায়ী, যখন ভর দ্বিগুণ হয়, তখন স্পিড \( v \) হয়

\[ v = c \]

অর্থাৎ, এই পরিস্থিতিতে, ভর দ্বিগুণ হলে, চলমান ভর হয় \( 2 m_0 \)।

অতএব, উত্তর হলো: "m = 2 m_0"