(5,2) বিন্দুগামি এবং x + 2y - 3 = 0 ও x - y - 2 = 0 রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?

নির্ণয়: সরলরেখার সমীকরণ

প্রথমে, \( x + 2y - 3 = 0 \) এবং \( x - y - 2 = 0 \) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু নির্ণয় করি।

সমীকরণ ১: \( x + 2y - 3 = 0 \)
সমীকরণ ২: \( x - y - 2 = 0 \)

সমীকরণ ১ থেকে সমীকরণ ২ বিয়োগ করে পাই:

\( (x + 2y - 3) - (x - y - 2) = 0 \)
\( \implies x + 2y - 3 - x + y + 2 = 0 \)
\( \implies 3y - 1 = 0 \)
\( \implies y = \frac{1}{3} \)

y এর মান সমীকরণ ২ এ বসিয়ে পাই:

\( x - \frac{1}{3} - 2 = 0 \)
\( \implies x = 2 + \frac{1}{3} \)
\( \implies x = \frac{7}{3} \)

সুতরাং, ছেদবিন্দুটি হলো \( \left(\frac{7}{3}, \frac{1}{3}\right) \). 🥳

এখন, \( (5, 2) \) বিন্দুগামী এবং \( \left(\frac{7}{3}, \frac{1}{3}\right) \) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করি।

সরলরেখার সমীকরণ হবে:

\( \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

এখানে, \( (x_1, y_1) = (5, 2) \) এবং \( (x_2, y_2) = \left(\frac{7}{3}, \frac{1}{3}\right) \)

সুতরাং,

\( \frac{y - 2}{x - 5} = \frac{\frac{1}{3} - 2}{\frac{7}{3} - 5} \)
\( \implies \frac{y - 2}{x - 5} = \frac{\frac{1 - 6}{3}}{\frac{7 - 15}{3}} \)
\( \implies \frac{y - 2}{x - 5} = \frac{-\frac{5}{3}}{-\frac{8}{3}} \)
\( \implies \frac{y - 2}{x - 5} = \frac{5}{8} \)

আড়াআড়ি গুণ করে পাই:

\( 8(y - 2) = 5(x - 5) \)
\( \implies 8y - 16 = 5x - 25 \)
\( \implies 5x - 8y = 25 - 16 \)
\( \implies 5x - 8y = 9 \)
\( \implies 8y + 9 = 5x \)

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ: \( 8y + 9 = 5x \). 🎉