(2,-1) বিন্দু হতে 3x-4y+5=0 উপর সরলরেখার অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?
সঠিক উত্তরঃ
A.
(1/5,7/5)
Another Explanation (5): প্রথমে, আমাদের দেওয়া তথ্য হলো:
- বিন্দু \( P(2, -1) \)
- রেখা \( 3x - 4y + 5 = 0 \)
আমাদের লক্ষ্য হলো, এই বিন্দু থেকে দেওয়া রেখার উপর সরলরেখার লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা।
ধাপ 1: রেখার ধনাত্মক বা ঋণাত্মক ঢাল নির্ণয়:
\[
\text{রেখা: } 3x - 4y + 5 = 0
\]
\[
\Rightarrow 4y = 3x + 5
\]
\[
\Rightarrow y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}
\]
সুতরাং, এই রেখার ঢাল \( m = \frac{3}{4} \)।
ধাপ 2: লম্বের রেখার ঢাল:
এখন, যেহেতু দুটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব, তাদের ঢাল গুণফল -1 হবে।
অতএব, যদি \( m_1 = \frac{3}{4} \), তাহলে লম্ব রেখার ঢাল হবে:
\[
m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3}
\]
ধাপ 3: বিন্দু \( P(2, -1) \) দিয়ে এই লম্ব রেখার সমীকরণ:
যেহেতু লম্ব রেখার ঢাল \( -\frac{4}{3} \), ও বিন্দু \( (2, -1) \) দিয়ে যায়, তাই রেখার সমীকরণ:
\[
y - y_1 = m (x - x_1)
\]
\[
y + 1 = -\frac{4}{3}(x - 2)
\]
\[
y + 1 = -\frac{4}{3}x + \frac{8}{3}
\]
\[
y = -\frac{4}{3}x + \frac{8}{3} - 1
\]
\[
y = -\frac{4}{3}x + \frac{8}{3} - \frac{3}{3}
\]
\[
y = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3}
\]
ধাপ 4: লম্ব রেখার পাদবিন্দু নির্ণয়:
লম্ব রেখার সমীকরণ:
\[
y = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3}
\]
রেখা \( 3x - 4y + 5 = 0 \) এর পাদবিন্দু:
প্রতিস্থাপন করি:
\[
3x - 4 \left( -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3} \right) + 5 = 0
\]
\[
3x - 4 \left( -\frac{4}{3}x \right) - 4 \left( \frac{5}{3} \right) + 5 = 0
\]
\[
3x + \frac{16}{3}x - \frac{20}{3} + 5 = 0
\]
সাধারণীভূত করি:
\[
\left( 3x + \frac{16}{3}x \right) = \frac{9}{3}x + \frac{16}{3}x = \frac{25}{3}x
\]
\[
- \frac{20}{3} + 5 = - \frac{20}{3} + \frac{15}{3} = - \frac{5}{3}
\]
এখন, সমীকরণ:
\[
\frac{25}{3}x - \frac{5}{3} = 0
\]
\[
\frac{25}{3}x = \frac{5}{3}
\]
\[
25x = 5
\]
\[
x = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}
\]
প্রতিস্থাপন করি \( x = \frac{1}{5} \) রেখার সমীকণে:
\[
y = -\frac{4}{3} \times \frac{1}{5} + \frac{5}{3}
\]
\[
y = -\frac{4}{15} + \frac{5}{3}
\]
\[
\frac{5}{3} = \frac{25}{15}
\]
অতএব:
\[
y = -\frac{4}{15} + \frac{25}{15} = \frac{21}{15} = \frac{7}{5}
\]
সুতরাং, পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো:
\[
\boxed{\left( \frac{1}{5}, \frac{7}{5} \right)}
\]
**উত্তর: \(\left( \frac{1}{5}, \frac{7}{5} \right)\)**