OP রেখাংশকে ঘড়ির কাঁটার দিকে  (2pi)/3 কোণে ঘুরানোতে তার নতুন অবস্থান হলো OQ ।  P এর স্থানাঙ্ক  (-sqrt3,-3) হলে P ও Q এর মধ্যবর্তী দূরত্ব কত হবে?

Explanation:

Another Explanation (5): OP রেখাংশকে ঘড়ির কাঁটার দিকে \( \frac{2\pi}{3} \) কোণে ঘোরানো হয়েছে। P এর স্থানাঙ্ক \( (-\sqrt{3}, -3) \)। P ও Q এর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে। ধরি, O মূলবিন্দু (0, 0)। OP এর দৈর্ঘ্য, \[ OP = \sqrt{(-\sqrt{3} - 0)^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] OP রেখাংশকে \( \frac{2\pi}{3} \) কোণে ঘোরানোর পরে নতুন অবস্থান OQ। যেহেতু শুধু ঘোরানো হয়েছে, তাই OQ এর দৈর্ঘ্য OP এর সমান হবে। অতএব, \( OQ = OP = 2\sqrt{3} \) P ও Q এর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করার জন্য আমরা law of cosines ব্যবহার করতে পারি। \( \angle POQ = \frac{2\pi}{3} \). PQ এর দূরত্ব, \[ PQ^2 = OP^2 + OQ^2 - 2 \cdot OP \cdot OQ \cdot \cos(\frac{2\pi}{3}) \] আমরা জানি, \( \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \) \[ PQ^2 = (2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) \cdot (-\frac{1}{2}) \] \[ PQ^2 = 12 + 12 + 12 = 36 \] \[ PQ = \sqrt{36} = 6 \] P এর স্থানাঙ্ক \( (-\sqrt{3}, -3) \) । সুতরাং, OP = \(2\sqrt{3}\)। ধরি, OP রেখাংশ x অক্ষের সাথে \( \theta \) কোণ উৎপন্ন করে। \[ \tan(\theta) = \frac{-3}{-\sqrt{3}} = \sqrt{3} \] যেহেতু P তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত, \( \theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \) OQ রেখাংশের কোণ হবে, \( \frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = 2\pi \) সুতরাং Q বিন্দুটি x অক্ষের উপর অবস্থিত এবং OQ = \( 2\sqrt{3} \) । Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক \( (2\sqrt{3}, 0) \) P ও Q এর মধ্যবর্তী দূরত্ব, \[ PQ = \sqrt{(2\sqrt{3} - (-\sqrt{3}))^2 + (0 - (-3))^2} \] \[ PQ = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (3)^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6 \] যদি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরানো হতো, তাহলে Q এর স্থানাঙ্ক অন্যরকম হতো। যেহেতু ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরানো হয়েছে, তাই কোণ যোগ হবে। এখন, যদি P এর স্থানাঙ্ক \( (-\sqrt{3},-3) \) হয়, এবং \( \frac{2\pi}{3} \) কোণে ঘুরানো হয়, তাহলে Q এর স্থানাঙ্ক হবে: \( x' = x\cos\theta - y\sin\theta \) \( y' = x\sin\theta + y\cos\theta \) \( x = -\sqrt{3}, y = -3, \theta = \frac{2\pi}{3} \) \( x' = -\sqrt{3}\cos(\frac{2\pi}{3}) - (-3)\sin(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}(-\frac{1}{2}) + 3(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \) \( y' = -\sqrt{3}\sin(\frac{2\pi}{3}) + (-3)\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) - 3(-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 0 \) Q এর স্থানাঙ্ক \( (2\sqrt{3}, 0) \) PQ এর দূরত্ব \( \sqrt{(2\sqrt{3} + \sqrt{3})^2 + (0 + 3)^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27+9} = \sqrt{36} = 6 \) প্রদত্ত উত্তরটির সাথে এই উত্তরের মিল নেই। 🤔