Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের মূল মানটি হলো:
\[
2 \tan^{-1} x
\]
আমরা এই মানটির সমান যে মানটি দেওয়া হয়েছে, সেটি হলো:
\[
\sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)
\]
অর্থাৎ, আমাদের দেখাতে হবে:
\[
2 \tan^{-1} x = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)
\]
প্রমাণ:
ধরি,
\[
\theta = \tan^{-1} x
\]
অর্থাৎ,
\[
\tan \theta = x
\]
তাহলে,
\[
2 \tan^{-1} x = 2 \theta
\]
আমাদের লক্ষ্য হলো, এটি কত মানের সমান, অর্থাৎ:
\[
2 \theta = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)
\]
এবং,
\[
\sin \left( 2 \theta \right) = \frac{2x}{1 + x^2}
\]
এখন, ডাবল অ্যাঙ্কেল সূত্র অনুযায়ী,
\[
\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta
\]
এবং,
\[
\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}
\]
\[
\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}
\]
অতএব,
\[
\sin 2 \theta = 2 \times \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \times \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{2x}{1 + x^2}
\]
এটি আমাদের মূল সমীকরণে দেওয়া মানের সমান।
অতএব,
\[
2 \tan^{-1} x = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)
\]
উত্তর:
\[
\boxed{
2 \tan^{-1} x = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)
}
\]
