1/2cos^-1 (1-x^2) /(1+x^2) +tan^-1 (1/x) =?

Another Explanation (5): প্রথমে দেওয়া সমীকরণটি লিখে নিই: \[ \frac{1}{2} \cos^{-1} \left(\frac{1 - x^2}{1 + x^2}\right) + \tan^{-1} \left(\frac{1}{x}\right) \] ধাপে ধাপে সমাধান: **ধাপ ১:** পরিচিতি অনুযায়ী, \[ \cos^{-1} \left(\frac{1 - x^2}{1 + x^2}\right) \] একটি ট্রিগোনোমেট্রিক পরিচিতি মনে আসে: \[ \cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \] তাই, \[ \frac{1 - x^2}{1 + x^2} = \cos 2\theta \quad \text{যেখানে} \quad \tan \theta = x \] অর্???াৎ, \[ \theta = \tan^{-1} x \] অতএব, \[ \cos^{-1} \left(\frac{1 - x^2}{1 + x^2}\right) = \cos^{-1} (\cos 2\theta) = 2\theta \] যেহেতু \(\theta = \tan^{-1} x\), তাই: \[ \cos^{-1} \left(\frac{1 - x^2}{1 + x^2}\right) = 2 \tan^{-1} x \] **ধাপ ২:** এখন মূল সমীকরণে বসাই: \[ \frac{1}{2} \times 2 \tan^{-1} x + \tan^{-1} \left(\frac{1}{x}\right) \] এখন, এটি সরলীকরণ করি: \[ \tan^{-1} x + \tan^{-1} \left(\frac{1}{x}\right) \] **ধাপ ৩:** জানি যে, \[ \text{When } x > 0, \quad \tan^{-1} x + \tan^{-1} \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} \] কারণ, \[ \tan^{-1} x + \tan^{-1} \left(\frac{1}{x}\right) = \tan^{-1} x + \tan^{-1} \left(\frac{1}{x}\right) \] যখন \(x > 0\), তাহলে: \[ \boxed{ \tan^{-1} x + \tan^{-1} \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} } \] **অবশ্যই**, \(x\) ধনাত্মক নয় এমন পরিস্থিতিতে, সমাধানটি আলাদা হতে পারে, তবে সাধারণভাবে, এই সমীকরণের জন্য: \[ \boxed{ \frac{\pi}{2} } \] **সুতরাং, উত্তর:** ```html $\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cos^\{-1\}\; \backslash left(\backslash frac\{1\; -\; x^2\}\{1\; +\; x^2\}\backslash right)\; +\; \backslash tan^\{-1\}\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{x\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$ ```