2tan^-1 1/3 এর সমতুল্য মান-

1. sin^-1 3/5 
2. cos^-1 4/5 
3. tan^-1 2/3 

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( 2 \tan^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) \) এর সমতুল্য মান কোনটি? নিচের অপশনগুলো হলো: i) \( \sin^{-1} \left( \frac{3}{5} \right) \) ii) \( \cos^{-1} \left( \frac{4}{5} \right) \) iii) \( \tan^{-1} \left( \frac{2}{3} \right) \) উত্তর: "i ও ii" --- প্রথমে, ধরা যাক \( \theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) \)। তাহলে, \[ \tan \theta = \frac{1}{3} \] এখন, \( 2 \theta = 2 \tan^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) \), অর্থাৎ, \[ \text{আমরা জানি} \quad \tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \] অতএব, \[ \tan 2 \theta = \frac{2 \times \frac{1}{3}}{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^2} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{8} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} \] অর্থাৎ, \[ \tan 2 \theta = \frac{3}{4} \] এখন, \( 2 \theta \) এর মান \( \alpha \) হিসেবে ধরে নিই, যেখানে \[ \tan \alpha = \frac{3}{4} \] আমরা জানি, \[ \text{সুতরাং,} \quad \alpha = \tan^{-1} \left( \frac{3}{4} \right) \] এখন, একটি রিলেশন আছে: \[ \sin \alpha = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos \alpha = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \] তাই, প্রথমে হাইপোটেনুসের মান নির্ণয় করি: \[ \text{Hypotenuse} = \sqrt{\text{opposite}^2 + \text{adjacent}^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] অতএব, \[ \sin \alpha = \frac{3}{5} \] \[ \cos \alpha = \frac{4}{5} \] এখন, \[ \alpha = \tan^{-1} \left( \frac{3}{4} \right) \] তাই, \[ 2 \theta = \alpha \Rightarrow \theta = \frac{\alpha}{2} \] এবং, \[ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \] \[ \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \] তাই, \[ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \] এবং, \[ \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \] তাহলে, \[ \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{10}} \times \frac{3}{\sqrt{10}} = 2 \times \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \] আর, \[ \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{9}{10} - \frac{1}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \] অর্থাৎ, \[ \sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{5} \] এবং, \( \alpha = \sin^{-1} \left( \frac{3}{5} \right) \) অথবা \( \cos^{-1} \left( \frac{4}{5} \right) \) কিন্তু, কারণ \( 2 \theta = \alpha \), তাই: \[ \theta = \frac{\alpha}{2} \] অর্থাৎ, \[ 2 \tan^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) = \alpha \Rightarrow \tan \alpha = \frac{3}{4} \] তাহলে, \( \alpha = \tan^{-1} \left( \frac{3}{4} \right) \). তাই, \[ 2 \tan^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{3}{5} \right) \quad \text{ও} \quad \cos^{-1} \left( \frac{4}{5} \right) \] এবং, অপশনে (i) ও (ii) উভয়ই সঠিক। --- সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: **"i ও ii"**