নিচের কোনটি সত্য?

1. sine এর রেঞ্জ [-1, 1]
2. cos^-¹ (-x) = cos^-1x
3. sin^-1 1/sqrt5 +sec^-1 sqrt5/3=pi/2 

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান:

1. sine এর রেঞ্জ [-1, 1]

সাইন ফাংশনের মান সর্বদা -1 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে। অর্থাৎ,
\[ \boxed{ \text{সাইন এর রেঞ্জ} \quad [-1, 1] } \] সঠিক।

2. cos^-¹ (-x) = cos^-1x

এটি সত্য নয়। কারণ, \(\cos^{-1}(-x)\) এর মান \(\pi - \cos^{-1}x\) হয়।
অর্থাৎ, \[ \cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x \] অথবা, \(\cos^{-1}\) এর জন্য, \[ \cos^{-1}(-x) \neq \cos^{-1}x \] সুতরাং, এই বিবৃতি ভুল।

3. sin^-¹ \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) + \sec^-¹ \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = \frac{\pi}{2}

প্রথমে, \(\sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\) নির্ণয় করি।
প্রশ্নে, \(\sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\)।
এটি একটি মান, যেখানে \(\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}\)।
অর্থাৎ, \(\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}\) \Rightarrow\ \sin^2 \theta = \frac{1}{5}\)।
তাহলে, \(\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\).
অর্থাৎ, \(\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}\) (প্রথম কোটিয়ার জন্য)।
এখন, \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{5}}{2}\).
তাহলে, \(\sec^{-1} \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)\) এর মান নির্ণয় করি।
যেহেতু, \(\sec y = \frac{\sqrt{5}}{3}\), সুতরাং, \(\cos y = \frac{3}{\sqrt{5}}\)।
এখানে, \(\cos y\) এর মান \{-1, 1\} এর মধ্যে হওয়া উচিত, কিন্তু \(\frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1.3416\) যা 1 এর বেশি।
অর্থাৎ, \(\sec y = \frac{\sqrt{5}}{3}\) এই মানটি সম্ভব নয় কারণ \(\sec y\) এর মান সর্বদা \(|\sec y| \geq 1\), এবং এর জন্য \(\cos y\) এর মান \(|\cos y| \leq 1\)।
অতএব, এই অংশটি অপ্রমাণিত বা ভুল।
তাই, এই সমীকরণ সমাধানের জন্য, এই অংশটি ভুল।

সারসংক্ষেপ:

• বিবৃতি (i) সঠিক।
• বিবৃতি (ii) ভুল।
• বিবৃতি (iii) ভুল বা ভুলের কাছাকাছি।

উত্তর:

উপরে বিশ্লেষণে দেখা যায়, শুধুমাত্র (i) সঠিক। সুতরাং, "i ও iii" বলাটা ভুল, কারণ iii ভুল। তবে, প্রশ্নের উত্তর অনুযায়ী, "i ও iii" উল্লেখ থাকলেও, বাস্তবিকভাবে, শুধুমাত্র (i) সত্য।