a cos+b sin C এর সমাধান থাকবে ii. বাস্তব, সমান। যখন

1.  C > sqrt(a^2 + b^2)
2.  C = sqrt(a^2 + b^2)
3.  C < sqrt(a^2 + b^2) 

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(a \cos \theta + b \sin \theta\) এর স??াধান থাকবে কতটি, যখন নিম্নলিখিত শর্তাবলি দেওয়া হয়েছে: i. \(C > \sqrt{a^2 + b^2}\) ii. \(C = \sqrt{a^2 + b^2}\) iii. \(C < \sqrt{a^2 + b^2}\) নিচের কোনটি সঠিক? উত্তর: "ii ও iii" --- **সমাধান:** আমরা জানি যে, যেকোনো রৈখিক অভিব্যক্তি \(\ a \cos \theta + b \sin \theta\) এর সর্বোচ্চ মান হলো \(\sqrt{a^2 + b^2}\), এবং সর্বনিম্ন মান হলো \(-\sqrt{a^2 + b^2}\)। এই রৈখিক অভিব্যক্তির সাধারণ সমাধান বা মান নির্ণয় করতে: \[ a \cos \theta + b \sin \theta = R \cos (\theta - \alpha) \] যেখানে: \[ R = \sqrt{a^2 + b^2} \] এবং \(\alpha\) হলো একটি কোণ, যা নির্ণয় করা যায়: \[ \cos \alpha = \frac{a}{R} \quad \text{এবং} \quad \sin \alpha = \frac{b}{R} \] অর্থাৎ, অভিব্যক্তির মান সর্বোচ্চ হবে \(R = \sqrt{a^2 + b^2}\), এবং সর্বনিম্ন হবে \(-R = -\sqrt{a^2 + b^2}\)। সুতরাং, \(a \cos \theta + b \sin \theta = C\) সমাধান থাকবে **তখনই**, যখন: \[ |C| \leq R = \sqrt{a^2 + b^2} \] অর্থাৎ, \[ - \sqrt{a^2 + b^2} \leq C \leq \sqrt{a^2 + b^2} \] এখন, দেওয়া শর্তাবলি অনুযায়ী: 1. **\(C > \sqrt{a^2 + b^2}\)** — এই পরিস্থিতিতে, \(C\) এর মান সর্বোচ্চ মানের চেয়ে বড়, যা অসম্ভব। এই জন্য সমাধান থাকবেনা। 2. **\(C = \sqrt{a^2 + b^2}\)** — এই পরিস্থিতিতে, \(C\) সর্বোচ্চ মানের সমান। এই ক্ষেত্রে, সমাধান থাকবে, কারণ এই মানে \(\cos (\theta - \alpha) = 1\), অর্থাৎ, \(\theta = \alpha\)। এককথায়, সমাধান থাকবে। 3. **\(C < \sqrt{a^2 + b^2}\)** — এই পরিস্থিতিতে, \(C\) এর মান সর্বোচ্চ মানের চেয়ে ছোট। এই ক্ষেত্রে, সমাধান থাকবে, কারণ \(\cos (\theta - \alpha)\) এর মান \(\pm 1\) এর মধ্যে থাকতে পারে। অর্থাৎ, এই শর্তও সমাধান সম্ভব। **উপসংহার:** সমাধান থাকবে যখন \(C \leq \sqrt{a^2 + b^2}\), অর্থাৎ, শর্তাবলি ii ও iii, অর্থাৎ: **"ii ও iii"** --- **সিদ্ধান্ত:** ```html

সমাধান থাকবে যখন,

• ii. C = √(a² + b²)
• iii. C < √(a² + b²)

অর্থাৎ, উত্তর: "ii ও iii"

```