ABC ত্রিভুজের \( a: b: c = 3 : 7 : 5 \) হলে \( \angle B \) =?

প্রশ্নের সমাধান:

প্রথমে, ত্রিভুজ ABC এর পার্শ্বসমূহের অনুপাত দেওয়া হয়েছে:

\( a : b : c = 3 : 7 : 5 \)

এখানে, \( a \), \( b \), ও \( c \) যথাক্রমে বিপরীত কোণের বিপরীত পার্শ্ব।

তাই, পার্শ্বসমূহের মান নির্ণয় করতে, ধরি:

\( a = 3k \), \( b = 7k \), \( c = 5k \)

ত্রিভুজের কোণের মান নির্ণয়ের জন্য, আমরা সূত্র ব্যবহার করব:

• কোসাইন সূত্র: \( \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \)

এখন, উপস্থাপিত মানগুলো বসিয়ে দিই:

\[ \cos B = \frac{(3k)^2 + (5k)^2 - (7k)^2}{2 \times 3k \times 5k} \]

এখন, গুণফল ও বর্গের মান নির্ণয় করি:

\[ \cos B = \frac{9k^2 + 25k^2 - 49k^2}{2 \times 3k \times 5k} = \frac{(9 + 25 - 49)k^2}{30k^2} \]

\[ \cos B = \frac{-15k^2}{30k^2} = -\frac{1}{2} \]

এখন, মানটি থেকে কোণ \( \angle B \) নির্ণয় করি:

\( \cos B = -\frac{1}{2} \)

এটি জানায় যে, \( \angle B = 120^\circ \)

অতএব, উত্তর: \( \boxed{120^\circ} \)