\( \sin^2 2\theta - 3\cos^2\theta =0 \) সমীকরণের সাধারণ সমাধান-
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ:
\( \sin^2 2\theta - 3 \cos^2 \theta = 0 \)
ধাপ ১: ট্রিগনোমেট্রিক সূত্র ব্যবহার
আমরা জানি, \(\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta\)। তাই, \(\sin^2 2\theta = 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta\)।
অতএব, সমীকরণটি হয়:
\( 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta - 3 \cos^2 \theta = 0 \)
ধাপ ২: সাধারণ ফ্যাক্টরাইজেশন
\(\cos^2 \theta\) সাধারণ ফ্যাক্টর:
\(\cos^2 \theta (4 \sin^2 \theta - 3) = 0 \)
ধাপ ৩: সমাধান দুইটি অংশে ভাগ
অর্থাৎ, either:
- \(\cos^2 \theta = 0 \)
- \(4 \sin^2 \theta - 3 = 0 \)
ধাপ ৪: প্রথম অংশের সমাধান:
\(\cos^2 \theta = 0 \Rightarrow \cos \theta = 0 \)
\(\cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \)
ধাপ ৫: দ্বিতীয় অংশের সমাধান:
\(4 \sin^2 \theta = 3 \Rightarrow \sin^2 \theta = \frac{3}{4} \)
\(\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \)
ধাপ ৬: সুনির্দিষ্ট সমাধান:
\(\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3} + 2n\pi, \quad \text{or} \quad \theta = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \)
সম্ভাব্য সাধারণ সমাধান:
তবে, মূলতঃ \(\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\) এর জন্য, \(\theta = \pm \frac{\pi}{3} + n\pi\)।
অতএব, চূড়ান্ত উত্তর:
\( \boxed{\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}} \)
