\( \sin^2 2\theta - 3\cos^2\theta =0 \) সমীকরণের সাধারণ সমাধান-

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:

\( \sin^2 2\theta - 3 \cos^2 \theta = 0 \)

ধাপ ১: ট্রিগনোমেট্রিক সূত্র ব্যবহার

আমরা জানি, \(\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta\)। তাই, \(\sin^2 2\theta = 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta\)।

অতএব, সমীকরণটি হয়:

\( 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta - 3 \cos^2 \theta = 0 \)

ধাপ ২: সাধারণ ফ্যাক্টরাইজেশন

\(\cos^2 \theta\) সাধারণ ফ্যাক্টর:

\(\cos^2 \theta (4 \sin^2 \theta - 3) = 0 \)

ধাপ ৩: সমাধান দুইটি অংশে ভাগ

অর্থাৎ, either:

1. \(\cos^2 \theta = 0 \)
2. \(4 \sin^2 \theta - 3 = 0 \)

ধাপ ৪: প্রথম অংশের সমাধান:

\(\cos^2 \theta = 0 \Rightarrow \cos \theta = 0 \)

\(\cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \)

ধাপ ৫: দ্বিতীয় অংশের সমাধান:

\(4 \sin^2 \theta = 3 \Rightarrow \sin^2 \theta = \frac{3}{4} \)

\(\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \)

ধাপ ৬: সুনির্দিষ্ট সমাধান:

\(\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3} + 2n\pi, \quad \text{or} \quad \theta = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \)

সম্ভাব্য সাধারণ সমাধান:

তবে, মূলতঃ \(\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\) এর জন্য, \(\theta = \pm \frac{\pi}{3} + n\pi\)।

অতএব, চূড়ান্ত উত্তর:

\( \boxed{\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}} \)