ABC ত্রিভুজের cos A = sin B – cos C হলে ত্রিভুজটি কি হবে?

Ans: A.

দেওয়া আছে, \( \cos A = \sin B - \cos C \)

আমরা জানি, \( A + B + C = 180^\circ \) অথবা, \( A = 180^\circ - (B + C) \)

সুতরাং, \( \cos A = \cos (180^\circ - (B + C)) = - \cos (B + C) \)

অতএব, \( - \cos (B + C) = \sin B - \cos C \)

আমরা জানি, \( \cos (B + C) = \cos B \cos C - \sin B \sin C \)

সুতরাং, \( - (\cos B \cos C - \sin B \sin C) = \sin B - \cos C \)

বা, \( - \cos B \cos C + \sin B \sin C = \sin B - \cos C \)

বা, \( \cos C - \cos B \cos C = \sin B - \sin B \sin C \)

বা, \( \cos C (1 - \cos B) = \sin B (1 - \sin C) \)

এখন, \( \cos A + \cos C = \sin B \)

আমরা জানি, \( A = 180^\circ - (B + C) \) সুতরাং, \( \cos A = - \cos (B + C) \)

তাহলে, \( - \cos (B + C) + \cos C = \sin B \)

বা, \( - \cos B \cos C + \sin B \sin C + \cos C = \sin B \)

বা, \( \cos C (1 - \cos B) = \sin B (1 - \sin C) \)

\( \therefore \cos A = \sin B - \cos C \)

\( \implies \sin B = \cos A + \cos C \)

আমরা জানি, \(A + B + C = 180^{\circ} \) বা, \(B = 180^{\circ} - (A + C) \)

সুতরাং, \( \sin B = \sin (180^{\circ} - (A + C)) = \sin (A + C) \)

তাহলে, \( \sin (A + C) = \cos A + \cos C \)

বা, \( \sin A \cos C + \cos A \sin C = \cos A + \cos C \)

বা, \( \sin A \cos C - \cos C = \cos A - \cos A \sin C \)

বা, \( \cos C (\sin A - 1) = \cos A (1 - \sin C) \)

যদি \( A = 90^{\circ} \) হয়, তবে \( \cos A = 0 \) এবং \( \sin A = 1 \) হবে।

তাহলে, \( \cos C (1 - 1) = 0 + \cos C \)

\( \implies \sin B = 0 - \cos C = \cos C \)

যদি \( C = 0^{\circ} \) হয়, তবে \( \cos C = 1 \) । তাহলে \( \sin B = 1 \) সুতরাং \( B = 90^{\circ} \) । এটা সম্ভব নয়।

যদি \( A = 90^{\circ} \) হয়, তবে \( \cos 90^{\circ} = \sin B - \cos C \)

\( \implies 0 = \sin B - \cos C \)

\( \implies \sin B = \cos C \)

আমরা জানি, \( \sin B = \cos (90^{\circ} - B) \)

সুতরাং, \( \cos (90^{\circ} - B) = \cos C \)

\( \implies 90^{\circ} - B = C \)

\( \implies B + C = 90^{\circ} \)

যেহেতু \( A + B + C = 180^{\circ} \) সুতরাং \( A = 90^{\circ} \)

অতএব, ত্রিভুজটি সমকোণী। 🥳