Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ:
\[
\sin A + \cos A = \sin B + \cos B
\]
আমরা জানি,
\[
\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)
\]
অতএব,
\[
\sqrt{2} \sin \left( A + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin \left( B + \frac{\pi}{4} \right)
\]
দুটি সমীকরণের জন্য,
\[
\sin \left( A + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( B + \frac{\pi}{4} \right)
\]
যেহেতু,
\[
\sin x = \sin y \implies x = y + 2k\pi \quad \text{অথবা} \quad x = \pi - y + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
সুতরাং,
\[
A + \frac{\pi}{4} = B + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad A = B + 2k\pi
\]
অথবা,
\[
A + \frac{\pi}{4} = \pi - \left( B + \frac{\pi}{4} \right) + 2k\pi
\]
এখানে,
\[
A + \frac{\pi}{4} = \pi - B - \frac{\pi}{4} + 2k\pi
\]
\[
A + \frac{\pi}{4} = \pi - B - \frac{\pi}{4} + 2k\pi
\]
\[
A + \frac{\pi}{4} = \pi - B - \frac{\pi}{4} + 2k\pi
\]
উভয় সমীকরণ থেকে,
1. \(A = B + 2k\pi\)
2. \(A = -B + \pi + 2k\pi\)
প্রথমটি থেকে,
\[
A + B = B + 2k\pi + B = 2B + 2k\pi
\]
দ্বিতীয়টি থেকে,
\[
A + B = -B + \pi + 2k\pi + B = \pi + 2k\pi
\]
অতএব,
\[
A + B = \pi + 2k\pi
\]
যেহেতু, \(k\) যে কোনও পূর্ণসংখ্যা, মূল মান হলো
\[
A + B \equiv \pi \pmod{2\pi}
\]
অর্থাৎ,
\[
(A + B) = \pi \quad \text{(প্রধান মান)}
\]
উত্তর:
\[
\boxed{\pi}
\]
