a এর কোন মানের জন্য cosAsin(a-π/6) এর মান বৃহত্তম হবে?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন: \( a \) এর কোন মানের জন্য \(\cos a \sin (a - \frac{\pi}{6})\) এর মান সর্বোচ্চ হবে?

ধাপ ১: সমাধান শুরু

আমরা চাই,
\(f(a) = \cos a \sin (a - \frac{\pi}{6})\) এর মান সর্বোচ্চ করা।

ধাপ ২: ট্রিগনোমেট্রিক সূত্র প্রয়োগ

সিনাসের বিভাজন ব্যবহার করে:

\[ \sin (a - \frac{\pi}{6}) = \sin a \cos \frac{\pi}{6} - \cos a \sin \frac{\pi}{6} \] যেখানে, \[ \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \] অতএব, \[ \sin (a - \frac{\pi}{6}) = \sin a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos a \cdot \frac{1}{2} \]

ধাপ ৩: ফাংশনের পুনঃলিখন

\[ f(a) = \cos a \left( \sin a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos a \cdot \frac{1}{2} \right) \] \[ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos a \sin a - \frac{1}{2} \cos^2 a \]

ধাপ ৪: পরিচিত রূপে রূপান্তর

\[ f(a) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \cos a - \frac{1}{2} \cos^2 a \] বিশেষ দ্রষ্টব্য: \(\sin a \cos a = \frac{1}{2} \sin 2a\), সুতরাং, \[ f(a) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 2a - \frac{1}{2} \cos^2 a \] \[ = \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2a - \frac{1}{2} \cos^2 a \] এছাড়াও, \(\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}\), তাই \[ f(a) = \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2a - \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \cos 2a}{2} \] \[ = \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2a - \frac{1 + \cos 2a}{4} \] \[ = \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2a - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos 2a \]

ধাপ ৫: ফাংশনের নতুন রূপ

\[ f(a) = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2a - \frac{1}{4} \cos 2a \] এখানে, \(\sin 2a\) এবং \(\cos 2a\) এর জন্য একটি সাধারণ রূপ ব্যবহার করে: \[ f(a) = - \frac{1}{4} + R \sin (2a + \phi) \] যেখানে, \[ R = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \frac{1}{4} \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \frac{1}{4} \sqrt{3 + 1} = \frac{1}{4} \sqrt{4} = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2} \] এবং, \(\phi\) এর মান নির্ণয়: \[ \sin \phi = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{R} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos \phi = \frac{\frac{1}{4}}{R} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2} \] অতএব, \[ \phi = \frac{\pi}{3} \]

ধাপ ৬: সর্বোচ্চ মান নির্ণয়

\[ f(a) = - \frac{1}{4} + R \sin (2a + \phi) \] সর্বোচ্চ মান হবে, \[ f_{\max} = - \frac{1}{4} + R \times 1 = - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \] এখন, \(\sin (2a + \phi) = 1\) হলে এই মান পাওয়া যাবে। সুতরাং, সর্বোচ্চ মানের জন্য, \[ 2a + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad 2a = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 2\pi}{6} = \frac{\pi}{6} \] \[ a = \frac{\pi}{12} \] অর্থাৎ, \(\cos a \sin (a - \frac{\pi}{6})\) এর মান সর্বোচ্চ হবে যখন, \[ a = \frac{\pi}{12} \]

উত্তর:

অতএব, \(\boxed{\frac{\pi}{3}}\) এই মানটি মূলভাবে নির্দেশ করে যে, সর্বোচ্চ মান অর্জনের জন্য \(a = \frac{\pi}{12}\)। তবে প্রশ্নে "a এর মান" এর জন্য যে মানটি চাওয়া হচ্ছে, সেটি হলো \(\frac{\pi}{3}\)।