cosecθ + cotθ =sqrt3 এবং 0<θ<π/2 হলে θ এর মান কত?
Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ:
\[
\csc \theta + \cot \theta = \sqrt{3}
\]
প্রথমে, \(\csc \theta\) ও \(\cot \theta\) এর পরিচিতি ব্যবহার করি:
\[
\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} \quad \text{এবং} \quad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
\]
অতএব,
\[
\frac{1}{\sin \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \sqrt{3}
\]
একই নাম্বারে ভাগ করলে:
\[
\frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \sqrt{3}
\]
এখানে,
\[
1 + \cos \theta = \sqrt{3} \sin \theta
\]
উভয় পাশে স্কোয়ার করি:
\[
(1 + \cos \theta)^2 = 3 \sin^2 \theta
\]
বিস্তৃত করি:
\[
1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta = 3 \sin^2 \theta
\]
জানা আছে যে, \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), তাই:
\[
\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta
\]
প্রতিস্থাপন করি:
\[
1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta = 3 (1 - \cos^2 \theta)
\]
বিস্তৃত করি:
\[
1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta = 3 - 3 \cos^2 \theta
\]
সব এক পাশে নিয়ে আসি:
\[
\cos^2 \theta + 3 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta + 1 - 3 = 0
\]
সরল করি:
\[
4 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 2 = 0
\]
গুণ করি 2 দ্বারা:
\[
8 \cos^2 \theta + 4 \cos \theta - 4 = 0
\]
অথবা, সহজ করার জন্য মূল সমীকরণটি আবার লিখি:
\[
4 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 2 = 0
\]
এটি একটি কৌণিক সমীকরণ।
আসুন \(x = \cos \theta\), তাহলে:
\[
4x^2 + 2x - 2 = 0
\]
আনন্দে সমাধান করি:
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \times 4 \times (-2)}}{2 \times 4}
\]
গণনা করি:
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{8} = \frac{-2 \pm 6}{8}
\]
দুটি সমাধান:
\[
x_1 = \frac{-2 + 6}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]
\[
x_2 = \frac{-2 - 6}{8} = \frac{-8}{8} = -1
\]
তবে, \(\cos \theta = -1\) হলে \(\theta = \pi\), যা আমাদের দেওয়া কোণ সীমার মধ্যে নয় (কারণ \(0 < \theta < \pi/2\)), সুতরাং:
\[
\cos \theta = \frac{1}{2}
\]
এখন, \(\theta\) এর মান:
\[
\theta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{3}
\]
অতএব,
\[
\boxed{\theta = \frac{\pi}{3}}
\]
**উত্তর:** \(\frac{\pi}{3}\)