ABC ত্রিভুজে a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2c²(a² + b²) হলে ∠C =? (In the triangle ABC, if a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2c²(a² + b²) then ∠C =?)

Explanation:

Another Explanation (5): ABC ত্রিভুজে, যদি a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2c²(a² + b²) হয়, তবে ∠C = কত? 🤔 দেওয়া আছে, a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2c²(a² + b²) ⇒ a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2a²c² + 2b²c² ⇒ a⁴ + b⁴ + c⁴ - 2a²c² - 2b²c² = 0 ⇒ a⁴ + b⁴ + c⁴ - 2a²b² + 2a²b² - 2a²c² - 2b²c² = 0 ⇒ (a² + b²)² - 2c²(a² + b²) + c⁴ - 2a²b² = 0 কোসাইন সূত্রানুসারে, c² = a² + b² - 2ab cosC প্রদত্ত সমীকরণটিকে অন্যভাবে লেখা যায়: a⁴ + b⁴ + c⁴ - 2a²c² - 2b²c² = 0 ⇒ c⁴ = 2c²(a² + b²) - a⁴ - b⁴ ⇒ c² = a² + b² - 2ab cosC এই সূত্রে c⁴ এর মান বসিয়ে পাই, (a² + b² - 2ab cosC)² = 2(a² + b² - 2ab cosC)(a² + b²) - a⁴ - b⁴ অথবা, c⁴ + 2a²b² = (a² + b²)² ⇒ c⁴ = (a² + b²)² - 2a²b² ⇒ c⁴ = a⁴ + b⁴ + 2a²b² - 2a²b² ⇒ c⁴ = a⁴ + b⁴ এখন, c⁴ = 2c²(a² + b²) - a⁴ - b⁴ = 2c²(a² + b²) - c⁴ ⇒ 2c⁴ = 2c²(a² + b²) ⇒ c² = a² + b² সুতরাং, c² = a² + b² - 2ab cosC ⇒ a² + b² = a² + b² - 2ab cosC ⇒ 2ab cosC = 0 ⇒ cosC = 0 ⇒ C = 90° 😥 আবার, a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2c²(a² + b²) a⁴ + b⁴ + c⁴ - 2a²b² = 2c²a² + 2c²b² - 2a²b² (a² + b²)² - 2c²(a² + b²) + c⁴ = 2a²b² (a² + b² - c²)² = 2a²b² a² + b² - c² = ± √2ab cos C = (a² + b² - c²) / 2ab = ± √2ab / 2ab = ± 1/√2 C = 45° or 135° 😎 যেহেতু ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°। C = 45° হলে অন্য দুটি কোণ ধনাত্মক হতে হবে। কিন্তু C = 135° হলে অন্য দুটি কোণ ধনাত্মক হওয়া সম্ভব। অতএব, ∠C = 135°