ABC ত্রিভুজে a4 + b4 + c4 = 2c2(a2 + b2) হলে ∠C =? (In the triangle ABC, if a4 + b4 + c4 = 2c2(a2 + b2) then ∠C =?)
DU.TECHউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রসংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসহগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Topic Practice)DU.TECH - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
D.
135°
Explanation:
Another Explanation (5):
ABC ত্রিভুজে, যদি a4 + b4 + c4 = 2c2(a2 + b2) হয়, তবে ∠C = কত? 🤔
দেওয়া আছে, a4 + b4 + c4 = 2c2(a2 + b2)
⇒ a4 + b4 + c4 = 2a2c2 + 2b2c2
⇒ a4 + b4 + c4 - 2a2c2 - 2b2c2 = 0
⇒ a4 + b4 + c4 - 2a2b2 + 2a2b2 - 2a2c2 - 2b2c2 = 0
⇒ (a2 + b2)2 - 2c2(a2 + b2) + c4 - 2a2b2 = 0
কোসাইন সূত্রানুসারে, c2 = a2 + b2 - 2ab cosC
প্রদত্ত সমীকরণটিকে অন্যভাবে লেখা যায়:
a4 + b4 + c4 - 2a2c2 - 2b2c2 = 0
⇒ c4 = 2c2(a2 + b2) - a4 - b4
⇒ c2 = a2 + b2 - 2ab cosC এই সূত্রে c4 এর মান বসিয়ে পাই,
(a2 + b2 - 2ab cosC)2 = 2(a2 + b2 - 2ab cosC)(a2 + b2) - a4 - b4
অথবা,
c4 + 2a2b2 = (a2 + b2)2
⇒ c4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2
⇒ c4 = a4 + b4 + 2a2b2 - 2a2b2
⇒ c4 = a4 + b4
এখন, c4 = 2c2(a2 + b2) - a4 - b4 = 2c2(a2 + b2) - c4
⇒ 2c4 = 2c2(a2 + b2)
⇒ c2 = a2 + b2
সুতরাং, c2 = a2 + b2 - 2ab cosC
⇒ a2 + b2 = a2 + b2 - 2ab cosC
⇒ 2ab cosC = 0
⇒ cosC = 0
⇒ C = 90° 😥
আবার,
a4 + b4 + c4 = 2c2(a2 + b2)
a4 + b4 + c4 - 2a2b2 = 2c2a2 + 2c2b2 - 2a2b2
(a2 + b2)2 - 2c2(a2 + b2) + c4 = 2a2b2
(a2 + b2 - c2)2 = 2a2b2
a2 + b2 - c2 = ± √2ab
cos C = (a2 + b2 - c2) / 2ab = ± √2ab / 2ab = ± 1/√2
C = 45° or 135° 😎
যেহেতু ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°। C = 45° হলে অন্য দুটি কোণ ধনাত্মক হতে হবে। কিন্তু C = 135° হলে অন্য দুটি কোণ ধনাত্মক হওয়া সম্ভব।
অতএব, ∠C = 135°