যদি কোন ত্রিভুজে A = 60° হয় তবে b + c = কত?

ত্রিভুজের বাহু ও কোণের সম্পর্ক 📐

প্রশ্ন:

উত্তর:

আমরা জানি, ত্রিভুজের কোণ \(A, B, C\) এবং বাহু \(a, b, c\) এর মধ্যে সম্পর্ক:

\(b + c = a \frac{\sin B + \sin C}{\sin A}\) 🤓

এখন, \(\sin B + \sin C = 2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}\)

যেহেতু \(A + B + C = 180^\circ\), তাই \(B + C = 180^\circ - A\)

সুতরাং, \(\frac{B+C}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}\)

অতএব, \(\sin \frac{B+C}{2} = \sin (90^\circ - \frac{A}{2}) = \cos \frac{A}{2}\)

তাহলে, \(b + c = a \frac{2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{\sin A}\) 😊

আমরা জানি, \(\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}\)

সুতরাং, \(b + c = a \frac{2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} = a \frac{\cos \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2}}\)

দেওয়া আছে, \(A = 60^\circ\), সুতরাং \(\frac{A}{2} = 30^\circ\)

তাহলে, \(\sin \frac{A}{2} = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)

অতএব, \(b + c = a \frac{\cos \frac{B-C}{2}}{\frac{1}{2}} = 2a \cos \frac{B-C}{2}\)

🤔 আমার মনে হয় প্রশ্নটি incomplete ছিল। যেখানে a এর মান অথবা অন্য কোনো শর্ত দেয়া থাকলে b+c এর exact মান বের করা যেত।

যদি প্রশ্নপত্রে \(b + c = a \cos(\frac{B-C}{2})\) প্রমাণ করতে বলা হত, তবে উত্তরের স্বপক্ষে যুক্তি দেওয়া হল:

\(b + c = a \frac{\sin B + \sin C}{\sin A}\)

\(\implies b+c = a\frac{2\sin(\frac{B+C}{2})\cos(\frac{B-C}{2})}{\sin A}\)

\(\implies b+c = a\frac{2\sin(\frac{180-A}{2})\cos(\frac{B-C}{2})}{\sin A}\)

\(\implies b+c = a\frac{2\sin(90-\frac{A}{2})\cos(\frac{B-C}{2})}{\sin A}\)

\(\implies b+c = a\frac{2\cos(\frac{A}{2})\cos(\frac{B-C}{2})}{\sin A}\)

\(\implies b+c = a\frac{2\cos(30)\cos(\frac{B-C}{2})}{\sin 60}\)

\(\implies b+c = a\frac{2\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\frac{B-C}{2})}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

\(\implies b+c = 2a\cos(\frac{B-C}{2})\)