ABC ত্রিভুজে \( \cos A + \cos C = \sin B \) হলে \( \angle A \) সমান-
প্রশ্ন:
ABC ত্রিভুজে যদি \( \cos A + \cos C = \sin B \) হয়, তবে \( \angle A \) কত?
সমাধান:
প্রথমে, ত্রিভুজের কোণসমূহের যোগফল জানি:
\[ A + B + C = 180^\circ \]
প্রদত্ত শর্ত:
\[ \cos A + \cos C = \sin B \]
ত্রিভুজের কোণের জন্য সাধারণ সমীকরণ ব্যবহার করে সমাধান করি।
ধাপ ১: কোণ \( C \) এর জন্য \( C = 180^\circ - A - B \) ধরে নেই।
তাহলে, \(\cos C = \cos (180^\circ - A - B) \)
এটি থেকে, \(\cos C = - \cos (A + B) \)
ধাপ ২: \(\cos (A + B)\) এর মান জানি:
\[ \cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \]
অতএব,
\[ \cos C = - (\cos A \cos B - \sin A \sin B) = - \cos A \cos B + \sin A \sin B \]
ধাপ ৩: মূল শর্তে বসিয়ে:
\[ \cos A + \cos C = \sin B \]
অর্থাৎ,
\[ \cos A + (- \cos A \cos B + \sin A \sin B) = \sin B \]
ধাপ ৪: সমীকরণ সরলীকরণ:
\[ \cos A - \cos A \cos B + \sin A \sin B = \sin B \]
ধাপ ৫: \(\cos A\) এর সাধারণ অংশ বের করি:
\[ \cos A (1 - \cos B) + \sin A \sin B = \sin B \]
ধাপ ৬: সমাধান আরও সহজ করতে, \(\sin A\) ও \(\cos A\) এর সম্পর্ক ব্যবহার করি।
আমরা লক্ষ্য করি, যদি \(\angle A = 90^\circ\), তবে:
\(\cos A = 0\)
এবং, \(\sin A = 1\)
ধাপ ৭: \( \angle A = 90^\circ \) হলে, মূল শর্ত যাচাই করি:
\( \cos 90^\circ = 0 \)
অতএব, শর্তে বসিয়ে:
\[ 0 + \cos C = \sin B \]
ধাপ ৮: \(\cos C\) কে প্রকাশ করি:
\( C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 90^\circ - B = 90^\circ - B \)
তাহলে, \(\cos C = \cos (90^\circ - B) = \sin B \)
ধাপ ৯: মূল শর্তে ফিরে গেলে:
\[ \sin B = \sin B \]
যা সত্য, অর্থাৎ, \( \angle A = 90^\circ \) হলে শর্ত পূরণ হয়।
উপসংহার:
অতএব, \(\angle A = 90^\circ\)।