√3 tan2θ-√3=2tanθ (0<θ<2π) (The solution of √3 tan2θ-√3=2tanθ (0<θ<2π) is)
প্রশ্ন: \( \sqrt{3} \tan^2{\theta} - \sqrt{3} = 2\tan{\theta} \) (\( 0 < \theta < 2\pi \)) এর সমাধান নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে, \( \sqrt{3} \tan^2{\theta} - \sqrt{3} = 2\tan{\theta} \)
\(\Rightarrow \sqrt{3} \tan^2{\theta} - 2\tan{\theta} - \sqrt{3} = 0 \)
ধরি, \( \tan{\theta} = x \)
\(\therefore \sqrt{3} x^2 - 2x - \sqrt{3} = 0 \)
\(\Rightarrow \sqrt{3} x^2 - 3x + x - \sqrt{3} = 0 \)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x(x - \sqrt{3}) + 1(x - \sqrt{3}) = 0 \)
\(\Rightarrow (x - \sqrt{3})(\sqrt{3}x + 1) = 0 \)
\(\Rightarrow x = \sqrt{3} \) অথবা \( x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \)
সুতরাং, \( \tan{\theta} = \sqrt{3} \) অথবা \( \tan{\theta} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \)
যখন \( \tan{\theta} = \sqrt{3} \):
আমরা জানি, \( \tan{\frac{\pi}{3}} = \sqrt{3} \)
যেহেতু \( \tan{\theta} \) এর period \( \pi \), সুতরাং সাধারণ সমাধান,
\( \theta = n\pi + \frac{\pi}{3} \), যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা।
এখন, \( 0 < \theta < 2\pi \) এর জন্য,
যদি \( n = 0 \), \( \theta = \frac{\pi}{3} \)
যদি \( n = 1 \), \( \theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \)
সুতরাং, \( \theta = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \)
যখন \( \tan{\theta} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \):
আমরা জানি, \( \tan{\frac{5\pi}{6}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \)
যেহেতু \( \tan{\theta} \) এর period \( \pi \), সুতরাং সাধারণ সমাধান,
\( \theta = n\pi + \frac{5\pi}{6} \), যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা।
এখন, \( 0 < \theta < 2\pi \) এর জন্য,
যদি \( n = 0 \), \( \theta = \frac{5\pi}{6} \)
যদি \( n = 1 \), \( \theta = \pi + \frac{5\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \)
সুতরাং, \( \theta = \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \)
অতএব, নির্ণেয় সমাধান \( \theta = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \)।
ডিগ্রীতে প্রকাশ করলে, \( \theta = 60^\circ, 240^\circ, 150^\circ, 330^\circ \)
সুতরাং, উত্তর: 60°✅
```