যেকোনো ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রে–

1. a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
2. Δ=1/2bcsinA
   
3. c-acosB=bcosA

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রথমে দেওয়া ত্রিভুজ ABC এর জন্য প্রতিটি বিবৃতি যাচাই করি।

1. প্রতিনিধিত্ব: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)

এটি সাইন এর সূত্র (Law of Sines) এর মৌলিক সূত্র। এটি সত্য: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \] অর্থাৎ, এটি সঠিক।

1. প্রতিনিধিত্ব: \( \Delta = \frac{1}{2}bc \sin A \)

এটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র। মূল সূত্র হলো: \[ \text{Area} = \frac{1}{2}bc \sin A \] এবং সমানভাবে, \[ \Delta = \frac{1}{2}bc \sin A \] অর্থাৎ, এটি সঠিক।

1. প্রতিনিধিত্ব: \( c - a \cos B = b \cos A \)

এটি যাচাই করি। সাধারণভাবে, ত্রিভুজের কোণের জন্য কিছু সম্পর্ক রয়েছে। এটির সত্যতা পরীক্ষা করি:

প্রথমে, \( c - a \cos B \) সমান কি \( b \cos A \)?

\[
\text{তথ্য অনুযায়ী, } \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \quad \text{এবং} \quad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}
\]
অতএব,
\[
c - a \cos B = c - a \times \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = c - \frac{a(a^2 + c^2 - b^2)}{2ac}
\]
এখানে, মূলত বিভাজক \(2ac\):
\[
c - \frac{a(a^2 + c^2 - b^2)}{2ac} = c - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2c}
\]
অতএব,
\[
c - a \cos B = \frac{2c^2 - (a^2 + c^2 - b^2)}{2c} = \frac{2c^2 - a^2 - c^2 + b^2}{2c} = \frac{c^2 + b^2 - a^2}{2c}
\]

অন্যদিকে,
\[
b \cos A = b \times \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}
\]

অর্থাৎ,
\[
c - a \cos B = \frac{c^2 + b^2 - a^2}{2c} = b \cos A
\]

সুতরাং, এটি সত্য।


উপসংহারঃ
সব তিনটি বিবৃতি সত্য। অতএব, উত্তর হবে: i, ii & iii.