যদি cosx+cosya এবং sinx + siny = b হয় তবে cos (x + y) এর মান কোনটি?

দেওয়া আছে:

\(\cos x + \cos y = a\) ...(1)

\(\sin x + \sin y = b\) ...(2)

(1) নং সমীকরণকে বর্গ করে পাই,

\((\cos x + \cos y)^2 = a^2\)

\(\implies \cos^2 x + 2\cos x \cos y + \cos^2 y = a^2\) ...(3)

(2) নং সমীকরণকে বর্গ করে পাই,

\((\sin x + \sin y)^2 = b^2\)

\(\implies \sin^2 x + 2\sin x \sin y + \sin^2 y = b^2\) ...(4)

(3) ও (4) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

\(\cos^2 x + \sin^2 x + \cos^2 y + \sin^2 y + 2(\cos x \cos y + \sin x \sin y) = a^2 + b^2\)

\(\implies 1 + 1 + 2\cos(x - y) = a^2 + b^2\)

\(\implies 2 + 2\cos(x - y) = a^2 + b^2\)

\(\implies 2\cos(x - y) = a^2 + b^2 - 2\) ...(5)

এখন, \(\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = a\)

\(\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = b\)

সুতরাং,

\(\frac{2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}}{2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}} = \frac{b}{a}\)

\(\implies \tan \frac{x+y}{2} = \frac{b}{a}\)

আমরা জানি,

\(\cos(x+y) = \frac{1 - \tan^2 \frac{x+y}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x+y}{2}}\)

\(\implies \cos(x+y) = \frac{1 - (\frac{b}{a})^2}{1 + (\frac{b}{a})^2}\)

\(\implies \cos(x+y) = \frac{1 - \frac{b^2}{a^2}}{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)

\(\implies \cos(x+y) = \frac{\frac{a^2 - b^2}{a^2}}{\frac{a^2 + b^2}{a^2}}\)

\(\implies \cos(x+y) = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}\) 🎉

অতএব, \(\cos(x+y)\) এর মান \(\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}\)।