নিচের কোন রাশিমালাটি \( \sin 3A \) কে \( \sin A \) বা \( \cos A \) এর বহুপদীরূপে প্রকাশ করে ?

শুরুতেই, আমরা ত্রিকোণমিতির একটি পরিচিত সমীকরণ ব্যবহার করব:

\[
\sin 3A = 3\sin A - 4\sin^3 A
\]

এখন, চলুন এটি প্রমাণ করি।

প্রমাণ:

\[
\sin 3A = \sin (2A + A)
\]

বিস্তৃত করে,

\[
\sin 3A = \sin 2A \cos A + \cos 2A \sin A
\]

উপযুক্ত পরিচিত সমীকরণ ব্যবহার করে:

\[
\sin 2A = 2 \sin A \cos A
\]
\[
\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A
\]

অতএব,

\[
\sin 3A = (2 \sin A \cos A) \cos A + (\cos^2 A - \sin^2 A) \sin A
\]

সেগুলি সরল করলে:

\[
\sin 3A = 2 \sin A \cos^2 A + \cos^2 A \sin A - \sin^3 A
\]

দুটি \( 2 \sin A \cos^2 A \) যোগ করলে:

\[
\sin 3A = 3 \sin A \cos^2 A - \sin^3 A
\]

এখন, \( \cos^2 A \) এর স্থান বসাতে:

\[
\cos^2 A = 1 - \sin^2 A
\]

অতএব,

\[
\sin 3A = 3 \sin A (1 - \sin^2 A) - \sin^3 A
\]

বিচ্ছিন্ন করে:

\[
\sin 3A = 3 \sin A - 3 \sin^3 A - \sin^3 A
\]

সর্বশেষে,

\[
\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A
\]

এটি হলো \( \sin 3A \) এর একপ্রকার বহুপদী রূপ, যা \( \sin A \) এর উপর নির্ভর করে।

সুতরাং, উপযুক্ত রাশিমালা হলো:

\[
\boxed{
\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A
}
\]