\( \sin A + \cos A = \sin B + \cos B \), \( A+B=? \)
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ হলো:
\[ \sin A + \cos A = \sin B + \cos B \]
আমরা জানি:
\[ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \]
অতএব, উপরের সমীকরণটি লেখা যায়:
\[ \sqrt{2} \sin \left( A + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin \left( B + \frac{\pi}{4} \right) \]
প্রতিপাদ্য অনুযায়ী, এটি হতে পারে:
- \[ \sin \left( A + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( B + \frac{\pi}{4} \right) \] অথবা
- \[ \sin \left( A + \frac{\pi}{4} \right) = - \sin \left( B + \frac{\pi}{4} \right) \]
প্রথম অবস্থা:
যদি:
\[ \sin \left( A + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( B + \frac{\pi}{4} \right) \]
তাহলে, সাধারণ সমাধান হলো:
\[ A + \frac{\pi}{4} = B + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{অথবা} \quad A + \frac{\pi}{4} = \pi - \left( B + \frac{\pi}{4} \right) + 2k\pi \]
প্রথমটি থেকে:
\[ A = B + 2k\pi \]
দ্বিতীয়টি থেকে:
\[ A + \frac{\pi}{4} = \pi - B - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]
\[ A + \frac{\pi}{4} = \pi - B - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]
এখানে, \(\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\), তাই:
\[ A + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} - B + 2k\pi \]
এটি থেকে:
\[ A + B = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \]
দ্বিতীয় অবস্থা:
যদি:
\[ \sin \left( A + \frac{\pi}{4} \right) = - \sin \left( B + \frac{\pi}{4} \right) \]
তাহলে:
\[ A + \frac{\pi}{4} = - \left( B + \frac{\pi}{4} \right) + 2k\pi \]
এখানে:
\[ A + \frac{\pi}{4} = - B - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]
অথবা:
\[ A + B = - \frac{\pi}{2} + 2k\pi \]
সারাংশ:
প্রধান সমাধান হলো:
\[ A + B = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \]
অতএব, সর্বজনীন সমাধান অনুযায়ী,
উত্তর: \( A + B = \frac{\pi}{2} \)