যদি sinθ= -1 হয়, তবে θ এর সাধারণ মান কত?

প্রশ্ন: যদি \( \sin{\theta} = -1 \) হয়, তবে \( \theta \) এর সাধারণ মান কত?

সমাধান:

আমরা জানি, \( \sin{\theta} = -1 \) হলে, \( \theta = \frac{3\pi}{2} \) হয়। 😇

সাইন অপেক্ষকের সাধারণ সমাধান:

\( \sin{\theta} = \sin{\alpha} \) হলে, \( \theta = n\pi + (-1)^n \alpha \) যেখানে \( n \in \mathbb{Z} \). 🤔

এখানে, \( \sin{\theta} = -1 = \sin{\frac{3\pi}{2}} \). সুতরাং, \( \alpha = \frac{3\pi}{2} \).

অতএব, \( \theta = n\pi + (-1)^n \frac{3\pi}{2} \). 🤓

এখন, \( n \) এর মান জোড় ও বিজোড় হওয়ার উপর নির্ভর করে \(\theta\) এর মান:

• যদি \( n \) জোড় হয়, ধরি \( n = 2k \), যেখানে \( k \in \mathbb{Z} \). তাহলে, \( \theta = 2k\pi + \frac{3\pi}{2} = \frac{(4k+3)\pi}{2} \)
• যদি \( n \) বিজোড় হয়, ধরি \( n = 2k+1 \), যেখানে \( k \in \mathbb{Z} \). তাহলে, \( \theta = (2k+1)\pi - \frac{3\pi}{2} = \frac{(4k+2-3)\pi}{2} = \frac{(4k-1)\pi}{2} \)

উভয় ক্ষেত্রে, আমরা \(\theta\) এর মান \(\frac{(4n-1)\pi}{2}\) অথবা \(\frac{(4n+3)\pi}{2}\) আকারে লিখতে পারি। 🥰

\( \frac{(4n-1)\pi}{2} \) লিখলে সকল মান পাওয়া যায়।যেমন: n=1 হলে \( \frac{3\pi}{2} \), n=0 হলে \( -\frac{\pi}{2} \) ইত্যাদি।🎉

সুতরাং, \( \theta \) এর সাধারণ মান \( \frac{(4n-1)\pi}{2} \), যেখানে \( n \in \mathbb{Z} \).🥳

উত্তর: \((4n-1)\frac{\pi}{2}\)