A ও B দুটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হলে AB-BA একটি-

🤔 প্রশ্ন: A ও B দুটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হলে AB-BA একটি-

💡 উত্তর: শূন্য ম্যাট্রিক্স

📝 ব্যাখ্যা:

যেহেতু A এবং B উভয়ই প্রতিসম ম্যাট্রিক্স, তাই \(A^T = A\) এবং \(B^T = B\) হবে। এখন, আমাদের \(AB - BA\) ম্যাট্রিক্সটি বিবেচনা করতে হবে। এর ট্রান্সপোজ \((AB - BA)^T\) নির্ণয় করি।

\((AB - BA)^T = (AB)^T - (BA)^T\)

আমরা জানি, \((AB)^T = B^T A^T\). সুতরাং,

\((AB)^T - (BA)^T = B^T A^T - A^T B^T\)

যেহেতু \(A^T = A\) এবং \(B^T = B\), তাই আমরা লিখতে পারি,

\(B^T A^T - A^T B^T = BA - AB = -(AB - BA)\)

সুতরাং, \((AB - BA)^T = -(AB - BA)\). এর মানে \(AB - BA\) একটি স্কিউ-সিমেট্রিক (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্স। স্কিউ-সিমেট্রিক ম্যাট্রিক্সের কর্ণ উপাদানগুলো শূন্য হয়।

অতএব, \(AB-BA\) একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হবে। 🥳