\( \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx \) এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \) এর মান কত? উত্তর: 1 সমাধান: প্রথমে, সমাধান করার জন্য উপযুক্ত পরিবর্তন বা সাবস্টিটিউশন ব্যবহার করি। ধরি, \( u = 1 - x^2 \), তাহলে, \( du = -2x \, dx \) বা, \( x \, dx = -\frac{1}{2} du \). সীমা পরিবর্তন: - যখন \( x = 0 \), তখন \( u = 1 - 0^2 = 1 \). - যখন \( x = 1 \), তখন \( u = 1 - 1^2 = 0 \). তাহলে, \[ \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \int_{u=1}^{u=0} \frac{1}{\sqrt{u}} \left( -\frac{1}{2} du \right) \] এখানে, \( x \, dx = -\frac{1}{2} du \), তাই, \[ = -\frac{1}{2} \int_1^0 u^{-\frac{1}{2}} \, du \] উল্টে সীমা বদলে, \[ = \frac{1}{2} \int_0^1 u^{-\frac{1}{2}} \, du \] এখন, ইন্টিগ্রেশন করি: \[ \int u^{-\frac{1}{2}} \, du = \int u^{-\frac{1}{2}} \, du = 2 u^{\frac{1}{2}} + C \] অতএব, \[ \frac{1}{2} \times 2 u^{\frac{1}{2}} \Big|_{0}^{1} = u^{\frac{1}{2}} \Big|_{0}^{1} = \sqrt{1} - \sqrt{0} = 1 - 0 = 1 \] অতএব, \[ \boxed{ \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = 1 } \]