int((sin2x))/(sqrt(10+sin^2x)) dx  = ?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত ইন্টেগ্রাল হলো: \[ \int \frac{\sin 2x}{\sqrt{10 + \sin^2 x}} \, dx \] প্রথমে, \(\sin 2x\) কে রূপান্তর করি: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] অতঃপর, \[ \int \frac{2 \sin x \cos x}{\sqrt{10 + \sin^2 x}} \, dx \] এখন, \(\sin x = t\), তাই: \[ dt = \cos x \, dx \implies dx = \frac{dt}{\cos x} \] তাই, উপরের ইন্টেগ্রালটি হয়: \[ \int \frac{2 t \cos x}{\sqrt{10 + t^2}} \cdot \frac{dt}{\cos x} = 2 \int \frac{t}{\sqrt{10 + t^2}} \, dt \] এখন, আমাদের মূল সমস্যা হলো: \[ I = \int \frac{t}{\sqrt{10 + t^2}} \, dt \] এখানে, substitution করি: \[ u = 10 + t^2 \Rightarrow du = 2 t \, dt \] অর্থাৎ, \[ t \, dt = \frac{du}{2} \] সুতরাং, \[ I = \int \frac{t}{\sqrt{u}} \, dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du \] এটি হয়: \[ I = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} \, du \] এটি সমাধান করি: \[ I = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = u^{\frac{1}{2}} + C \] অর্থাৎ, \[ I = \sqrt{u} + C = \sqrt{10 + t^2} + C \] মূল \(t = \sin x\), তাই: \[ I = \sqrt{10 + \sin^2 x} + C \] অতএব, মূল ইন্টেগ্রাল হলো: \[ \int \frac{\sin 2x}{\sqrt{10 + \sin^2 x}} \, dx = 2 \times \sqrt{10 + \sin^2 x} + C \] **উত্তর:**

2 \sqrt{10 + \sin^2 x} + C