cosecA+secA=cosecB+secB হলে, tanAtanB=?

দেওয়া আছে, \( \csc A + \sec A = \csc B + \sec B \)

সুতরাং, \( \frac{1}{\sin A} + \frac{1}{\cos A} = \frac{1}{\sin B} + \frac{1}{\cos B} \)

বা, \( \frac{\sin A + \cos A}{\sin A \cos A} = \frac{\sin B + \cos B}{\sin B \cos B} \)

বা, \( \frac{\sin A + \cos A}{\sin B + \cos B} = \frac{\sin A \cos A}{\sin B \cos B} \)

এখন, \( \frac{\sin A + \cos A}{\sin B + \cos B} = k \) ধরি।

তাহলে, \( \sin A + \cos A = k(\sin B + \cos B) \) এবং \( \sin A \cos A = k \sin B \cos B \)

আমরা জানি, \( (\sin A + \cos A)^2 = \sin^2 A + \cos^2 A + 2 \sin A \cos A = 1 + 2 \sin A \cos A \)

সুতরাং, \( (k(\sin B + \cos B))^2 = 1 + 2k \sin B \cos B \)

বা, \( k^2 (\sin^2 B + \cos^2 B + 2 \sin B \cos B) = 1 + 2k \sin B \cos B \)

বা, \( k^2 (1 + 2 \sin B \cos B) = 1 + 2k \sin B \cos B \)

বা, \( k^2 + 2k^2 \sin B \cos B = 1 + 2k \sin B \cos B \)

বা, \( (k^2 - 1) + 2 \sin B \cos B (k^2 - k) = 0 \)

বা, \( (k-1)(k+1) + 2 \sin B \cos B k (k-1) = 0 \)

যদি \( k \neq 1 \) হয়, তবে \( (k+1) + 2k \sin B \cos B = 0 \)

সুতরাং, \( k = \frac{\sin A + \cos A}{\sin B + \cos B} \) থেকে \( \sin A + \cos A = -(\sin B + \cos B) \) হতে পারে।

আবার, \( \sin A + \cos A = \sqrt{2} \sin (A + \frac{\pi}{4}) \) এবং \( \sin B + \cos B = \sqrt{2} \sin (B + \frac{\pi}{4}) \)

তাহলে, \( \sin (A + \frac{\pi}{4}) = - \sin (B + \frac{\pi}{4}) = \sin (-B - \frac{\pi}{4}) \)

সুতরাং, \( A + \frac{\pi}{4} = -B - \frac{\pi}{4} \) অথবা \( A + \frac{\pi}{4} = \pi + B + \frac{\pi}{4} \)

প্রথমটি থেকে, \( A + B = -\frac{\pi}{2} \), যা সম্ভব নয়।

দ্বিতীয়টি থেকে, \( A - B = \pi \), যা সম্ভব নয়।

সুতরাং, \( k = 1 \), অর্থাৎ \( \sin A + \cos A = \sin B + \cos B \) এবং \( \sin A \cos A = \sin B \cos B \)

সুতরাং, \( \sin A \) ও \( \cos A \) এবং \( \sin B \) ও \( \cos B \) একই দ্বিঘাত সমীকরণের মূল।

অতএব, \( A = B \) অথবা \( A + B = \frac{\pi}{2} \)। যদি \( A = B \) হয়, তবে \( \tan A \tan B = \tan^2 A \) হবে। কিন্তু যদি \( A + B = \frac{\pi}{2} \) হয়, তবে \( B = \frac{\pi}{2} - A \)

অতএব, \( \tan A \tan B = \tan A \tan (\frac{\pi}{2} - A) = \tan A \cot A = 1 \)

\( \cot(\frac{A+B}{2}) = \cot(\frac{\pi/2}{2}) = \cot(\frac{\pi}{4}) = 1 \)

অতএব, \( \tan A \tan B = 1 = \cot(\frac{A+B}{2}) \) 🥰