x² - 5x + k = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α, β

k = 6 হলে α + 2, β + 2 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?

প্রশ্ন অনুযায়ী, সমীকরণটি হলো:

\(x^2 - 5x + k = 0\)

এবং মূলদ্বয় হলো \(\alpha\) ও \(\beta\), যেখানে:

• ত্রিকোণের মূলের যোগফল:
• \(\alpha + \beta = 5\)
• মূলদ্বয় গুণফল:
• \(\alpha \beta = k\)

এবং দেওয়া হয়েছে যে:

• \(\alpha = 6\)
• \(\beta = 6\)

তাই, মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) এর জন্য:

• \(\alpha + \beta = 5\)
• অথবা, \(\alpha + \beta = 5\)

অথচ, দেওয়া হয়েছে \(\alpha = 6\) ও \(\beta = 6\), যার মানে:

\(\alpha + \beta = 6 + 6 = 12\)

এটি মূল সমীকরণের মূল যোগফলের সাথে অসম্পূর্ণ। সম্ভবত প্রশ্নে কিছু ভুল থাকতে পারে। তবে, প্রশ্নের মূল উদ্দেশ্য হলো মূলদ্বয় \(\alpha, \beta\) এর মান দিয়ে নতুন সমীকরণ তৈরি করা।

নতুন মূলবিশিষ্ট সমীকরণে, মূলগুলো হলো \(\alpha + 2\) ও \(\beta + 2\)।

তাহলে, নতুন সমীকরণের মূলের যোগফল হবে:

\(\text{Sum} = (\alpha + 2) + (\beta + 2) = (\alpha + \beta) + 4\)

প্রথম সমীকরণ থেকে, \(\alpha + \beta = 5\), তাই:

\(\text{Sum} = 5 + 4 = 9\)

মূলের গুণফল হবে:

\(\text{Product} = (\alpha + 2)(\beta + 2)\)

এটিExpanded:

\(\alpha \beta + 2(\alpha + \beta) + 4\)

অর্থাৎ,

\(\text{Product} = k + 2 \times 5 + 4 = k + 10 + 4 = k + 14\)

প্রথম সমীকরণ থেকে, \(k = \alpha \beta\)।

অতএব, নতুন সমীকরণের মূলের গুণফল হলো:

\(\text{Product} = \alpha \beta + 14\)

এখন, নতুন মূলবিশিষ্ট সমীকরণের মান হবে:

\(x^2 - (\text{Sum}) x + \text{Product} = 0\)

অর্থাৎ,

\(x^2 - 9x + (\alpha \beta + 14) = 0\)

প্রথম সমীকরণে, \(k = \alpha \beta\), তাই, সমীকরণে গুণফল হবে:

\(k + 14\)

প্রশ্নে, উল্লেখ আছে যে, \(k = 6\), তাই গুণফল হবে:

\(6 + 14 = 20\)

অতএব, মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি হবে:

\(x^2 - 9x + 20 = 0\)