x = acosθ + bsinθ এবং y = asinθ – bcosθ কোন কণিকের সমীকরণ?

প্রশ্নোক্ত সমীকরণ দুটি হলো:

\(x = a\cos\theta + b\sin\theta\) ... (1)

\(y = a\sin\theta - b\cos\theta\) ... (2)

এখন, উভয় সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করি:

\(x^2 + y^2 = (a\cos\theta + b\sin\theta)^2 + (a\sin\theta - b\cos\theta)^2\)

\(= a^2\cos^2\theta + 2ab\cos\theta\sin\theta + b^2\sin^2\theta + a^2\sin^2\theta - 2ab\sin\theta\cos\theta + b^2\cos^2\theta\)

\(= a^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) + b^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta)\)

\(= a^2(1) + b^2(1)\)

\(x^2 + y^2 = a^2 + b^2\)

যদি \(a^2 + b^2 = r^2\) হয়, যেখানে r একটি ধ্রুবক, তবে সমীকরণটি হবে:

\(x^2 + y^2 = r^2\)

যা একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করে। 🥳

সুতরাং, \(x = a\cos\theta + b\sin\theta\) এবং \(y = a\sin\theta - b\cos\theta\) একটি বৃত্তের সমীকরণ। 🤩

বিশেষ ক্ষেত্রে, যদি a = b হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্র মূল বিন্দুতে (0,0) এবং ব্যাসার্ধ \(a\sqrt{2}\) হবে। 🥰

যদি a ≠ b হয়, তবুও এটি একটি বৃত্ত হবে, যার কেন্দ্র মূল বিন্দুতে এবং ব্যাসার্ধ \(\sqrt{a^2 + b^2}\)। 😎

অতএব, প্রদত্ত সমীকরণগুলো একটি বৃত্তের প্রতিনিধিত্ব করে। 🎉