\( \left| \begin{matrix} x + y & x & y \\ x & z & z \\ y & z & y + z \end{matrix} \right| \) নির্ণায়কের মান কোনটি?
প্রথমে, আমরা ডিটারমিন্যান্টটি নির্ণয় করব:
ডিটারমিন্যান্ট:
\[ D = \left| \begin{matrix} x + y & x & y \\ x & z & z \\ y & z & y + z \end{matrix} \right| \]প্রথম সারি থেকে প্রথম কলাম অনুযায়ী অপারেশন করে সহজ করা যাক।
এখানে, আমরা প্রথম সারি থেকে দ্বিতীয় ও তৃতীয় সারিকে পরিবর্তন করব:
সারিগুলির পরিবর্তন:
- সারি ২ থেকে সারি ১ বাদ দিন: \( R_2 \rightarrow R_2 - R_1 \)
- সারি ৩ থেকে সারি ১ বাদ দিন: \( R_3 \rightarrow R_3 - R_1 \)
নতুন সারিগুলি:
\[ R_2 = (x - (x + y),\, z - x,\, z - y) = (-y,\, z - x,\, z - y) \] \[ R_3 = (y - (x + y),\, z - x,\, y + z - y) = (-x,\, z - x,\, z) \]অতএব, ডিটারমিন্যান্ট এখন হয়:
\[ D = \left| \begin{matrix} x + y & x & y \\ -y & z - x & z - y \\ -x & z - x & z \end{matrix} \right| \]এখন, এই ডিটারমিন্যান্টের মান নির্ণয় করি। প্রথম সারি থেকে প্রথম কলাম অনুযায়ী অপারেশন করে সহজ করি।
মোটামুটি, ডিটারমিন্যান্টের মান নির্ণয় করতে নিচের পদক্ষেপগুলো অনুসরণ করব:
- প্রথম সারি থেকে দ্বিতীয় ও তৃতীয় সারি বাদ দিন:
- অপরিহার্যভাবে, উপরের সারি ও কলাম ব্যবহার করে ডিটারমিন্যান্টের মান নির্ণয় করি।
আমরা এখন ডিটারমিন্যান্টের মান নির্ণয় করব সরাসরি অঙ্ক করে:
D = (x + y) * | (z - x) z - y |
| z - x z |
এটি 2x2 ডিটারমিন্যান্ট, যা হয়:
\[ D = (x + y) \left[ (z - x) \times z - (z - y) \times (z - x) \right] \]এখন, এটা সমাধান করি:
D = (x + y) [ (z - x)z - (z - y)(z - x) ]
প্রথম, উভয় অংশের বিকরণ করি:
(z - y)(z - x) = z(z - x) - y(z - x) = z^2 - xz - yz + xy
অতএব, ডিটারমিন্যান্টের মান:
D = (x + y) [ (z - x)z - (z^2 - xz - yz + xy) ]
D = (x + y) [ z(z - x) - z^2 + xz + yz - xy ]
সাধারণ করে লিখলে:
D = (x + y) [ z^2 - xz - z^2 + xz + yz - xy ]
এখানে, \( z^2 \) ও \( - z^2 \) বাতিল হবে, এবং \( - xz \) ও \( + xz \) বাতিল হবে। ফলে, আমরা পাই:
D = (x + y) [ yz - xy ] = (x + y) y (z - x)
অতএব, নির্ণয়কটির মান হলো:
\( D = (x + y) \times y \times (z - x) \)
এখানে, ডিটারমিন্যান্টের মান "xyz" এর সমান হলে, এর মান হবে:
যেহেতু, এখানে শুধুমাত্র সমীকরণে x, y, z এর গুণফল দেখা যাচ্ছে, তাহলে আনুমানিকভাবে ডিটারমিন্যান্টের মান হবে:
উত্তর: \( xyz \)