p এর কোন মানের জন্য |(1,2,3),(-2,-4,p),(3,0,1)| নির্ণায়কের মান শূন্য হবে?

প্রশ্নে দেওয়া ম্যাট্রিক্সটি হলো:

| 1 & 2 & 3 |
| -2 & -4 & p |
| 3 & 0 & 1 |

আমাদের লক্ষ্য হলো, এই ডিটারমিন্যান্টটির মান শূন্য হওয়ার জন্য p এর মান নির্ণয় করা।

প্রথমে, ডিটারমি???্যান্ট লিখে নিই:

D = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
-2 & -4 & p \\
3 & 0 & 1
\end{vmatrix}

ডিটারমিন্যান্টের মান নির্ণয়ের জন্য ক্রোন্নের সূত্র (cofactor expansion) ব্যবহার করি। প্রথম সারি থেকে শুরু করি:

D = 1 \times \begin{vmatrix} -4 & p \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix} -2 & p \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 3 \times \begin{vmatrix} -2 & -4 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}

প্রতিটি 2x2 ডিটারমিন্যান্ট হিসেব করি:

\begin{aligned}
\begin{vmatrix} -4 & p \\ 0 & 1 \end{vmatrix} &= (-4) \times 1 - p \times 0 = -4 \\
\begin{vmatrix} -2 & p \\ 3 & 1 \end{vmatrix} &= (-2) \times 1 - p \times 3 = -2 - 3p \\
\begin{vmatrix} -2 & -4 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} &= (-2) \times 0 - (-4) \times 3 = 0 + 12 = 12
\end{aligned}

এখন, ডিটারমিন্যান্টের মান নির্ণয় করি:

D = 1 \times (-4) - 2 \times (-2 - 3p) + 3 \times 12

D = -4 - 2(-2 - 3p) + 36

D = -4 + 4 + 6p + 36

D = ( -4 + 4 + 36 ) + 6p = 36 + 6p

যেহেতু, ডিটারমিন্যান্টের মান শূন্য হতে হবে, তাই:

36 + 6p = 0

6p = -36

p = \frac{-36}{6} = -6

উত্তর: p এর মান হলো -6