2x+3y-4=0 এবং xcosɑ+ysinɑ=p একই সরলরেখা নির্দেশ করলে P এর মান-

🤔 প্রশ্ন: 2x+3y-4=0 এবং xcosɑ+ysinɑ=p একই সরলরেখা নির্দেশ করলে p এর মান কত?

🎯 সমাধান:

প্রদত্ত সরলরেখা দুটি হলো:

2x + 3y - 4 = 0 .........(1)

xcosɑ + ysinɑ = p .........(2)

যেহেতু সরলরেখা দুটি একই, তাই এদের সহগগুলোর অনুপাত সমান হবে। 🤔

অতএব, \(\frac{2}{cos\alpha} = \frac{3}{sin\alpha} = \frac{-4}{-p}\)

প্রথম দুটি অনুপাত থেকে পাই,

\(\frac{2}{cos\alpha} = \frac{3}{sin\alpha}\)

বা, \(2sin\alpha = 3cos\alpha\)

বা, \(tan\alpha = \frac{3}{2}\) 😮

আমরা জানি, \(sec^2\alpha = 1 + tan^2\alpha\)

সুতরাং, \(sec^2\alpha = 1 + (\frac{3}{2})^2 = 1 + \frac{9}{4} = \frac{13}{4}\)

অতএব, \(cos^2\alpha = \frac{4}{13}\)

সুতরাং, \(cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}\) অথবা \(cos\alpha = -\frac{2}{\sqrt{13}}\)

আবার, \(cosec^2\alpha = 1 + cot^2\alpha\)

\(cosec^2\alpha = 1 + (\frac{2}{3})^2 = 1 + \frac{4}{9} = \frac{13}{9}\)

সুতরাং, \(sin^2\alpha = \frac{9}{13}\)

অতএব, \(sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}\) অথবা \(sin\alpha = -\frac{3}{\sqrt{13}}\)

এখন, প্রথম এবং তৃতীয় অনুপাত থেকে পাই,

\(\frac{2}{cos\alpha} = \frac{4}{p}\)

বা, \(p = 2cos\alpha\)

আবার, দ্বিতীয় ও তৃতীয় অনুপাত থেকে পাই,

\(\frac{3}{sin\alpha} = \frac{4}{p}\)

বা, \(p = \frac{4sin\alpha}{3}\)

\(2x + 3y - 4 = 0\) কে \(\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\) দিয়ে ভাগ করে পাই,

\(\frac{2}{\sqrt{13}}x + \frac{3}{\sqrt{13}}y = \frac{4}{\sqrt{13}}\)

তুলনা করে পাই,

\(cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}\), \(sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}\) এবং \(p = \frac{4}{\sqrt{13}}\) 🥰

অতএব, p এর মান \(\frac{4}{\sqrt{13}}\)।