int_0^(pi/2) sin^5 Thetacos ThetadTheta 

=কত?

আমরা \( \int_0^{\pi/2} \sin^5(\theta) \cos(\theta) \, d\theta \) এর মান নির্ণয় করব।

ধরি, \( u = \sin(\theta) \)। তাহলে, \( du = \cos(\theta) \, d\theta \)।

যখন \( \theta = 0 \), তখন \( u = \sin(0) = 0 \)।

যখন \( \theta = \frac{\pi}{2} \), তখন \( u = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \)।

সুতরাং, আমাদের ইন্টিগ্রালটি \( \int_0^1 u^5 \, du \) তে পরিবর্তিত হবে।

এখন, \( \int_0^1 u^5 \, du = \left[ \frac{u^6}{6} \right]_0^1 = \frac{1^6}{6} - \frac{0^6}{6} = \frac{1}{6} - 0 = \frac{1}{6} \)। 🎉

অতএব, \( \int_0^{\pi/2} \sin^5(\theta) \cos(\theta) \, d\theta = \frac{1}{6} \)। ✅