f(x) = 1 + 3x-2x² 

f এর গরিষ্ঠ মান কত? 

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে, \( f(x) = 1 + 3x - 2x^2 \)। এটি একটি দ্বিতীয় ডিগ্রি সমীকরণ (quadratic function), যার গরিষ্ঠ মান (maximum value) নির্ণয় করতে হলে, আমরা এর শীর্ষবিন্দু (vertex) এর মান নির্ণয় করব।

একটি quadratic function এর শীর্ষবিন্দুর \(x\)-মান হয়, \[ x = -\frac{b}{2a} \] যেখানে, \(a = -2\), \(b = 3\), এবং \(c = 1\)।

সুতরাং, \[ x = -\frac{3}{2 \times (-2)} = -\frac{3}{-4} = \frac{3}{4} \]

এখন, এই \(x\)-মান ব্যবহার করে ফাংশনের মান নির্ণয় করি: \[ f\left(\frac{3}{4}\right) = 1 + 3 \times \frac{3}{4} - 2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^2 \]

প্রথমে, গণনা করি: \[ f\left(\frac{3}{4}\right) = 1 + \frac{9}{4} - 2 \times \frac{9}{16} \] \[ = 1 + \frac{9}{4} - \frac{18}{16} \] \[ = 1 + \frac{9}{4} - \frac{9}{8} \]

সমানুপাতিক রূপে আনার জন্য, 1 কে \(\frac{8}{8}\) হিসেবে লিখি: \[ = \frac{8}{8} + \frac{18}{8} - \frac{9}{8} \] \[ = \frac{8 + 18 - 9}{8} = \frac{17}{8} \]

অতএব, গরিষ্ঠ মান হলো \(\boxed{\frac{17}{8}}\)।