যদি x=t² হয়, তবে (d^2y)/dx^2  এর মান কত ?

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

সমাধান:

আমাদের দেওয়া আছে, \(x = t^2\). সুতরাং, \(\frac{dx}{dt} = 2t\). 🤓 এখন, \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1}{2t} \frac{dy}{dt}\). 🤔 অতএব, \(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2t} \frac{dy}{dt} \right)\) আমরা চেইন রুল ব্যবহার করে পাই, \(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2t} \frac{dy}{dt} \right) \cdot \frac{dt}{dx}\) যেহেতু \(\frac{dx}{dt} = 2t\), তাই \(\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2t}\). 🤩 সুতরাং, \(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2t} \cdot \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2t} \frac{dy}{dt} \right)\) এখন, \(\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2t} \frac{dy}{dt} \right) = \frac{1}{2} \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{t} \frac{dy}{dt} \right)\) = \(\frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{t^2} \frac{dy}{dt} + \frac{1}{t} \frac{d^2y}{dt^2} \right]\) = \(\frac{1}{2} \left[ \frac{t \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt}}{t^2} \right]\) তাহলে, \(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2t} \cdot \frac{1}{2} \left[ \frac{t \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt}}{t^2} \right] = \frac{1}{4t^3} \left[ t \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \right]\) যদি \(y\) এর মান \(t\) এর সাপেক্ষে দেওয়া না থাকে, তবে এই পর্যন্তই উত্তর রাখা যায়। যদি \(y = \frac{3}{2}t^2\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dt} = 3t\) এবং \(\frac{d^2y}{dt^2} = 3\). তখন, \(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{4t^3} [t(3) - 3t] = \frac{1}{4t^3} [3t - 3t] = 0\) 😥 কিন্তু যদি \(y = 3\sqrt{x}\) হয়, তাহলে \(y = 3t\) হবে। সেক্ষেত্রে, \(\frac{dy}{dt} = 3\) এবং \(\frac{d^2y}{dt^2} = 0\). সুতরাং, \(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{4t^3} [t(0) - 3] = -\frac{3}{4t^3}\). 😵‍💫 যদি \(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{4t}\) হতে হয়, তবে প্রশ্ন অথবা উত্তরে কোথাও ভুল আছে। 🤔 ```