If y=x^-1/x হলে  (dy)/(dx) =?

Explanation:

Another Explanation (5): দেওয়া আছে, \( y = x^{-\frac{1}{x}} \) উভয় পক্ষে \( ln \) নিয়ে পাই, \( ln(y) = ln(x^{-\frac{1}{x}}) \) \( ln(y) = -\frac{1}{x} ln(x) \) এখন, \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে পাই, \( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} ln(x) \right) \) এখানে, \(\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} ln(x) \right)\) এর মান বের করার জন্য গুণফল বিধি ব্যবহার করি। \( \frac{d}{dx} (uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \) সুতরাং, \( \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} ln(x) \right) = \frac{1}{x} \frac{d}{dx} (ln(x)) + ln(x) \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) \) \( = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + ln(x) \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) \) \( = \frac{1}{x^2} - \frac{ln(x)}{x^2} \) \( = \frac{1 - ln(x)}{x^2} \) অতএব, \( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\left( \frac{1 - ln(x)}{x^2} \right) \) \( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{ln(x) - 1}{x^2} \) \( \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{ln(x) - 1}{x^2} \) যেহেতু \( y = x^{-\frac{1}{x}} \), তাই \( \frac{dy}{dx} = x^{-\frac{1}{x}} \cdot \frac{ln(x) - 1}{x^2} \) \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^{\frac{1}{x}}} \cdot \frac{ln(x) - 1}{x^2} \) \( \frac{dy}{dx} = \frac{ln(x) - 1}{x^2 \cdot x^{\frac{1}{x}}} \) \( \frac{dy}{dx} = \frac{ln(x) - 1}{x^{2 + \frac{1}{x}}} \) সুতরাং, \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^{2 + \frac{1}{x}}} (ln(x) - 1) \) ✅