\( (x^4 - \frac{1}{x^3})^8 \) এর বিস্তৃতিতে \( x^{11} \) এর সহগ কত?

প্রদত্ত প্রকাশ্য: \( (x^4 - \frac{1}{x^3})^8 \)

প্রথমে, এটি বাইনারি বিস্তৃতি (binomial expansion) ব্যবহারের জন্য রূপান্তর করি:

\[ (x^4 - x^{-3})^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} (x^4)^{8-k} (-x^{-3})^k \]

প্রতিটি উপাদান:

\[ \binom{8}{k} x^{4(8 - k)} (-1)^k x^{-3k} \]

সমষ্টি রূপান্তর করি:

\[ \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} (-1)^k x^{32 - 4k - 3k} = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} (-1)^k x^{32 - 7k} \]

আমাদের লক্ষ্য: \( x^{11} \) এর সহগ নির্ণয়। অর্থাৎ, যেখানে শক্তি \( 11 \), সেখানে:

\[ 32 - 7k = 11 \]

সমাধান করি:

\[ 7k = 32 - 11 = 21 \] \[ k = \frac{21}{7} = 3 \] কিন্তু, যেহেতু \( k \) একটি পূর্ণসংখ্যা এবং 0 থেকে 8 এর মধ্যে, তাই \( k=3 \) উপযুক্ত।

এখন, \( k=3 \) এর জন্য সহগ নির্ণয় করি:

\[ \binom{8}{3} (-1)^3 \]

\(\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56\)

এবং, \((-1)^3 = -1\)

অতএব, সহগ:

\[ 56 \times (-1) = -56 \]

অতএব, \( (x^4 - \frac{1}{x^3})^8 \) এর বিস্তৃতিতে \( x^{11} \) এর সহগ = \(\boxed{-56}\)।