\( x^2 \frac{2}{\sqrt{2}} + y^2 \frac{4}{\sqrt{2}} = 1 \) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব কত?
উপবৃত্তের সমীকরণটি হলো: \( x^2 \frac{2}{\sqrt{2}} + y^2 \frac{4}{\sqrt{2}} = 1 \)
এটিকে আমরা লিখতে পারি: \( \frac{x^2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} + \frac{y^2}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = 1 \)
বা, \( \frac{x^2}{\frac{1}{\sqrt{2}}} + \frac{y^2}{\frac{1}{2\sqrt{2}}} = 1 \)
সুতরাং, \( a^2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \) এবং \( b^2 = \frac{1}{2\sqrt{2}} \)। যেহেতু \( a^2 > b^2 \), তাই \( a = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \) এবং \( b = \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt[4]{2}} \)।
আমরা জানি, \( b^2 = a^2(1-e^2) \), যেখানে \( e \) হলো উৎকেন্দ্রিকতা।
সুতরাং, \( \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1-e^2) \)
বা, \( \frac{1}{2} = 1 - e^2 \)
বা, \( e^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)
অতএব, \( e = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \( = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt[4]{2}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt[4]{2}}} = \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{1}{2}}} = 2^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}} = 2^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \)
কিন্তু প্রদত্ত উত্তরটি \( 3\sqrt{2} \), যা সঠিক নয়। 🤔
আবার, যদি সমীকরণটি \( x^2 \frac{2}{\sqrt{2}} + y^2 \frac{4}{\sqrt{2}} = 1 \) এর পরিবর্তে \( x^2 \frac{\sqrt{2}}{2} + y^2 \frac{\sqrt{2}}{4} = 1 \) হয়,
তাহলে, \( \frac{x^2}{\sqrt{2}} + \frac{y^2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 \)
\( a^2 = \sqrt{2}, b^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\(e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)
\(e = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a} = \frac{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt[4]{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{2}}=\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{4}}}=2^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{2}\)
সুতরাং, দেওয়া উত্তরটি সঠিক নয়। 😔
```