যদি -1 < x < 1 হয় ,তবে sin^-1x+cos^-1 x= কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

ধরা যাক, \( -1 < x < 1 \)

প্রথমে, আমরা জানি যে, \( \sin^{-1} x \) এবং \( \cos^{-1} x \) এর মানের জন্য নির্দিষ্ট সীমা রয়েছে।

সাধারণত:

• \( \sin^{-1} x \) এর মান \( -\frac{\pi}{2} \) থেকে \( \frac{\pi}{2} \) এর মধ্যে।
• \( \cos^{-1} x \) এর মান \( 0 \) থেকে \( \pi \) এর মধ্যে।

এখন, যদি ধরি \( \theta = \sin^{-1} x \), তাহলে:

\[ x = \sin \theta \quad \text{এবং} \quad -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \]

তাহলে, \( \cos^{-1} x \) এর জন্য, যদি \( \phi = \cos^{-1} x \), তাহলে:

\[ x = \cos \phi \quad \text{এবং} \quad 0 \leq \phi \leq \pi \]

প্রশ্নে, \( x = \sin \theta = \cos \phi \) থাকলে, তাহলে:

\[ \sin \theta = \cos \phi \]

এখানে, আমরা জানি যে:

\[ \sin \theta = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) \]

অর্থাৎ, যদি \( \cos \phi = \sin \theta \), তাহলে:

\[ \phi = \frac{\pi}{2} - \theta \]

এখন, আমরা জানি যে, \( \phi = \cos^{-1} x \) এবং \( \theta = \sin^{-1} x \), তাই:

\[ \cos^{-1} x + \sin^{-1} x = \phi + \theta = \frac{\pi}{2} \]

সুতরাং,

\( \sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \boxed{\frac{\pi}{2}} \)