x এর সাপেক্ষে Sin^4(cot^-1sqrt(((1+x)/(1-x))) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: x এর সাপেক্ষে \( \sin^4(\cot^{-1}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}) \) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধরি, \( y = \sin^4(\cot^{-1}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}) \) এখানে, \( \cot^{-1}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} = \theta \) ধরি। তাহলে, \( \cot \theta = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \) আমরা জানি, \( \sin^2 \theta = \frac{1}{1 + \cot^2 \theta} \) সুতরাং, \( \sin^2 \theta = \frac{1}{1 + \frac{1+x}{1-x}} = \frac{1}{\frac{1-x+1+x}{1-x}} = \frac{1-x}{2} \) অতএব, \( \sin \theta = \sqrt{\frac{1-x}{2}} \) তাহলে, \( y = (\sin \theta)^4 = \left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\right)^4 = \left(\frac{1-x}{2}\right)^2 = \frac{(1-x)^2}{4} \) এখন, x এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় করি: \( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left[\frac{(1-x)^2}{4}\right] = \frac{1}{4} \frac{d}{dx} (1 - 2x + x^2) \) \( = \frac{1}{4} (0 - 2 + 2x) = \frac{1}{4} (-2 + 2x) = \frac{2(x-1)}{4} = \frac{x-1}{2} = \frac{-(1-x)}{2} = -\frac{1}{2}(1-x) \) সুতরাং, \( \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}(1-x) \) ✅

উত্তর: \( -\frac{1}{2}(1-x) \)

```