∫ e^x (sin3x + 3/(sec3x))dx = ?

Another Explanation (5): প্রথমে সমীকরণটি হলো: \[ \int e^x \left(\sin 3x + \frac{3}{\sec 3x}\right) dx \] চলুন প্রথম অংশটি আলাদা করে দেখি: \[ \int e^x \sin 3x \, dx + \int e^x \frac{3}{\sec 3x} \, dx \] জেনে রাখি, \(\sec 3x = \frac{1}{\cos 3x}\), তাই: \[ \frac{3}{\sec 3x} = 3 \cos 3x \] অর্থাৎ, সমীকরণটি হয়ে যায়: \[ \int e^x \sin 3x \, dx + 3 \int e^x \cos 3x \, dx \] এখন, আসুন প্রথম অংশের সমাধান করি: \[ I_1 = \int e^x \sin 3x \, dx \] এবং দ্বিতীয় অংশের জন্য, \[ I_2 = \int e^x \cos 3x \, dx \] উভয়ই সমাধান করতে আমরা ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করব। প্রথমে \(I_1\): **ভূমিকা:** নির্দিষ্ট করুন, \[ u = \sin 3x \quad \Rightarrow \quad du = 3 \cos 3x \, dx \] \[ dv = e^x \, dx \quad \Rightarrow \quad v = e^x \] তাহলে, \[ I_1 = e^x \sin 3x - \int e^x \cdot 3 \cos 3x \, dx = e^x \sin 3x - 3 \int e^x \cos 3x \, dx \] এবং \(I_2\): **ভূমিকা:** \[ u = \cos 3x \quad \Rightarrow \quad du = -3 \sin 3x \, dx \] \[ dv = e^x \, dx \quad \Rightarrow \quad v = e^x \] তাহলে, \[ I_2 = e^x \cos 3x + 3 \int e^x \sin 3x \, dx = e^x \cos 3x + 3 I_1 \] এখন, আমাদের কাছে দুটি সমীকরণ: \[ I_1 = e^x \sin 3x - 3 I_2 \] \[ I_2 = e^x \cos 3x + 3 I_1 \] এগুলো সমাধান করতে, প্রথমে \(I_2\) থেকে \(I_1\) এর মান প্রকাশ করি: \[ I_2 = e^x \cos 3x + 3 I_1 \] এবং এই মানকে প্রথম সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি: \[ I_1 = e^x \sin 3x - 3 (e^x \cos 3x + 3 I_1) \] বিন্যাস: \[ I_1 = e^x \sin 3x - 3 e^x \cos 3x - 9 I_1 \] অর্থাৎ, \[ I_1 + 9 I_1 = e^x \sin 3x - 3 e^x \cos 3x \] \[ 10 I_1 = e^x (\sin 3x - 3 \cos 3x) \] \[ I_1 = \frac{1}{10} e^x (\sin 3x - 3 \cos 3x) \] এখন, \(I_2\): \[ I_2 = e^x \cos 3x + 3 I_1 = e^x \cos 3x + \frac{3}{10} e^x (\sin 3x - 3 \cos 3x) \] বিন্যাস: \[ I_2 = e^x \cos 3x + \frac{3}{10} e^x \sin 3x - \frac{9}{10} e^x \cos 3x \] \[ I_2 = e^x \left( \cos 3x - \frac{9}{10} \cos 3x \right) + \frac{3}{10} e^x \sin 3x \] \[ I_2 = e^x \left( \frac{1}{10} \cos 3x \right) + \frac{3}{10} e^x \sin 3x \] অতএব, \[ I_2 = \frac{1}{10} e^x \cos 3x + \frac{3}{10} e^x \sin 3x \] সুতরাং, \[ \int e^x \left(\sin 3x + 3 \cos 3x \right) dx = I_1 + 3 I_2 \] এখন, \[ I_1 + 3 I_2 = \frac{1}{10} e^x (\sin 3x - 3 \cos 3x) + 3 \left( \frac{1}{10} e^x \cos 3x + \frac{3}{10} e^x \sin 3x \right) \] বিন্যাস করি: \[ = \frac{1}{10} e^x \sin 3x - \frac{3}{10} e^x \cos 3x + \frac{3}{10} e^x \cos 3x + \frac{9}{10} e^x \sin 3x \] সমন্বয়: \[ = \left( \frac{1}{10} e^x \sin 3x + \frac{9}{10} e^x \sin 3x \right) + \left( - \frac{3}{10} e^x \cos 3x + \frac{3}{10} e^x \cos 3x \right) \] \[ = e^x \sin 3x + 0 = e^x \sin 3x \] অতএব, \[ \int e^x \left(\sin 3x + \frac{3}{\sec 3x}\right) dx = \boxed{e^x \sin 3x + C} \] where \(C\) হলো কনস্ট্যান্ট।