int_0^1(dx)/(e^x+e^-x)    এর মান কোনটি ?  

প্রশ্ন: \(\int_0^1 \frac{dx}{e^x + e^{-x}}\) এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, \(I = \int_0^1 \frac{dx}{e^x + e^{-x}}\)

আমরা জানি, \(e^{-x} = \frac{1}{e^x}\)

সুতরাং, \(I = \int_0^1 \frac{dx}{e^x + \frac{1}{e^x}} = \int_0^1 \frac{e^x}{e^{2x} + 1} dx\)

এখন, ধরি \(e^x = t\). তাহলে, \(e^x dx = dt\). 😃

যখন \(x = 0\), তখন \(t = e^0 = 1\).

যখন \(x = 1\), তখন \(t = e^1 = e\).

অতএব, \(I = \int_1^e \frac{dt}{t^2 + 1}\)

আমরা জানি, \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \tan^{-1}(x) + C\)

সুতরাং, \(I = [\tan^{-1}(t)]_1^e = \tan^{-1}(e) - \tan^{-1}(1)\)

আমরা জানি, \(\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}\) 🤩

অতএব, \(I = \tan^{-1}(e) - \frac{\pi}{4}\)

সুতরাং, \(\int_0^1 \frac{dx}{e^x + e^{-x}} = \tan^{-1}(e) - \frac{\pi}{4}\) 🎉