(5, 55/4) এবং (10, 10) বিন্দুগামী সরলরেখার উপর মূল বিন্দু থেকে লম্ব অংকন করলে লম্বটি x-অক্ষের সাথে কত রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করে এবং উহার দৈর্ঘ্য কত একক?
SUSTUnit-Aউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রসরলরেখাস্থূলকোণ ও সূক্ষ্ম কোণের সমদ্বিখন্ডক সম্পর্কিত (Topic Practice)SUST - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
D.
tan⁻¹(4/3), 14
Explanation: Solve: প্রদত্ত বিন্দুগুলোর সংযোগক রেখার ঢাল =\( (10 - 5)/(10 - 4) = 4/3 \)
মূল বিন্দুগামী নির্দেশ রেখার সমীকরণ,\( y = 4/3 x ⇒ 4x - 3y = 0 \)
মনে করি, রেখাটি, x অক্ষের সাথে θ কোন তৈরি করে
∴\( tanθ = 4/3 ⇒ θ = tan^(-1)(4/3) \)
আবার, প্রদত্ত বিন্দুগুলোর সংযোগক রেখার সমীকরণ,
3x + 4y + c = 0 যেখানে (10, 10) বিন্দুগামী
∴ 30 + 40 + c = 0 ⇒ c = -70
∴ রেখার সমীকরণ, 3x + 4y - 70 = 0
∴ মূলবিন্দু হতে রেখাটির লম্ব দূরত্ব = |3×0 + 4×0 - 70|/√(3^2 + 4^2) = 70/5 = 14
বিধ্র: প্রশ্নপত্রে, রেডিয়ানের পরিবর্তে ডিগ্রি হবে।
Another Explanation (5): ```html
উত্তর: \( \tan^{-1}(4/3), 14 \)
\( \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
এখানে, \( (x_1, y_1) = (5, \frac{55}{4}) \) এবং \( (x_2, y_2) = (10, 10) \)
তাহলে,
\( \frac{y - \frac{55}{4}}{x - 5} = \frac{10 - \frac{55}{4}}{10 - 5} \)
\( \frac{y - \frac{55}{4}}{x - 5} = \frac{\frac{40 - 55}{4}}{5} \)
\( \frac{y - \frac{55}{4}}{x - 5} = \frac{-15}{4 \cdot 5} = -\frac{3}{4} \)
\( 4(y - \frac{55}{4}) = -3(x - 5) \)
\( 4y - 55 = -3x + 15 \)
\( 3x + 4y = 70 \) ...(১)
ধাপ ২: মূল বিন্দু থেকে সরলরেখার উপর লম্বের সমীকরণ নির্ণয় করি।
\( ax + by + c = 0 \) সরলরেখার উপর মূল বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \( p = \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) এবং লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( (\frac{-ac}{a^2+b^2}, \frac{-bc}{a^2+b^2}) \)
সুতরাং, \( 3x + 4y - 70 = 0 \) সরলরেখার জন্য,
লম্বের দৈর্ঘ্য \( p = \frac{|-70|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{70}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{70}{\sqrt{25}} = \frac{70}{5} = 14 \) একক। 📏
ধাপ ৩: লম্বটি x অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় করি।
সরলরেখাটির ঢাল \( m = -\frac{3}{4} \)
মূল বিন্দু থেকে সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের ঢাল \( m' = -\frac{1}{m} = \frac{4}{3} \)
ধরি, লম্বটি x অক্ষের সাথে \( \theta \) কোণ উৎপন্ন করে।
তাহলে, \( \tan(\theta) = m' = \frac{4}{3} \)
\( \theta = \tan^{-1}(\frac{4}{3}) \) 📐
অতএব, লম্বটি x-অক্ষের সাথে \( \tan^{-1}(4/3) \) রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করে এবং লম্বের দৈর্ঘ্য 14 একক। 🎉 ```
প্রশ্ন:
(5, 55/4) এবং (10, 10) বিন্দুগামী সরলরেখার উপর মূল বিন্দু থেকে লম্ব অংকন করলে লম্বটি x-অক্ষের সাথে কত রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করে এবং উহার দৈর্ঘ্য কত একক?উত্তর: \( \tan^{-1}(4/3), 14 \)
সমাধান:
ধাপ ১: প্রথমে, সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করি। দুটি বিন্দু \( (x_1, y_1) \) ও \( (x_2, y_2) \) দিয়ে যায় এমন সরলরেখার সমীকরণ:\( \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
এখানে, \( (x_1, y_1) = (5, \frac{55}{4}) \) এবং \( (x_2, y_2) = (10, 10) \)
তাহলে,
\( \frac{y - \frac{55}{4}}{x - 5} = \frac{10 - \frac{55}{4}}{10 - 5} \)
\( \frac{y - \frac{55}{4}}{x - 5} = \frac{\frac{40 - 55}{4}}{5} \)
\( \frac{y - \frac{55}{4}}{x - 5} = \frac{-15}{4 \cdot 5} = -\frac{3}{4} \)
\( 4(y - \frac{55}{4}) = -3(x - 5) \)
\( 4y - 55 = -3x + 15 \)
\( 3x + 4y = 70 \) ...(১)
ধাপ ২: মূল বিন্দু থেকে সরলরেখার উপর লম্বের সমীকরণ নির্ণয় করি।
\( ax + by + c = 0 \) সরলরেখার উপর মূল বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \( p = \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) এবং লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( (\frac{-ac}{a^2+b^2}, \frac{-bc}{a^2+b^2}) \)
সুতরাং, \( 3x + 4y - 70 = 0 \) সরলরেখার জন্য,
লম্বের দৈর্ঘ্য \( p = \frac{|-70|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{70}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{70}{\sqrt{25}} = \frac{70}{5} = 14 \) একক। 📏
ধাপ ৩: লম্বটি x অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় করি।
সরলরেখাটির ঢাল \( m = -\frac{3}{4} \)
মূল বিন্দু থেকে সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের ঢাল \( m' = -\frac{1}{m} = \frac{4}{3} \)
ধরি, লম্বটি x অক্ষের সাথে \( \theta \) কোণ উৎপন্ন করে।
তাহলে, \( \tan(\theta) = m' = \frac{4}{3} \)
\( \theta = \tan^{-1}(\frac{4}{3}) \) 📐
অতএব, লম্বটি x-অক্ষের সাথে \( \tan^{-1}(4/3) \) রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করে এবং লম্বের দৈর্ঘ্য 14 একক। 🎉 ```