Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন: \[ \sin \left(\tan^{-1} \frac{1}{2} + \cot^{-1} 3 \right) \]

ধাপ 1: বিভিন্ন মান নির্ণয় করুন

ধরা যাক: \[ A = \tan^{-1} \frac{1}{2} \] \[ B = \cot^{-1} 3 \] তাহলে, \[ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \]

ধাপ 2: \(\sin A\), \(\cos A\), \(\sin B\), \(\cos B\) নির্ণয় করুন

- \(A = \tan^{-1} \frac{1}{2}\) অর্থাৎ: \[ \tan A = \frac{1}{2} \] এখানে, একক ট্রিগোনোমেট্রিক রূপে ধরো: - বিপরীত পাশ = 1 - আশ্রিত পাশ = 2 তাই, হাইপোথেনিউস: \[ \text{Hypotenuse} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] অতএব: \[ \sin A = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \] \[ \cos A = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \] - \(B = \cot^{-1} 3\) অর্থাৎ: \[ \cot B = 3 \] অর্থাৎ: \[ \tan B = \frac{1}{3} \] অর্থাৎ: - বিপরীত পাশ = 1 - আশ্রিত পাশ = 3 হাইপোথেনিউস: \[ \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \] অতএব: \[ \sin B = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \] \[ \cos B = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \]

ধাপ 3: \(\sin (A + B)\) এর মান নির্ণয় করুন

ফর্মুলা: \[ \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \] বদলানুযায়ী: \[ = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) + \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \] অঙ্ক: \[ = \frac{3}{\sqrt{5} \sqrt{10}} + \frac{2}{\sqrt{5} \sqrt{10}} \] একই ডেনমিনেটর: \[ \sqrt{5} \sqrt{10} = \sqrt{5 \times 10} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2} \] অতএব: \[ \sin (A + B) = \frac{3 + 2}{5 \sqrt{2}} = \frac{5}{5 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

উপসংহার:

অতএব: \[ \boxed{\sin \left(\tan^{-1} \frac{1}{2} + \cot^{-1} 3 \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}} \]