16cos30°cos15°cos"(7" 1/2)°sin(7" 1/2)° =?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(16 \cos 30^\circ \cos 15^\circ \cos \left(7 \frac{1}{2}^\circ \right) \sin \left(7 \frac{1}{2}^\circ \right) = ?\) উত্তর: \(\sqrt{3}\) সমাধান: প্রথমে, মূল সমীকরণটি লিখি: \[ 16 \cos 30^\circ \cos 15^\circ \cos \left(7 \frac{1}{2}^\circ \right) \sin \left(7 \frac{1}{2}^\circ \right) \] নোট: \(7 \frac{1}{2}^\circ = 7.5^\circ\) ধাপ ১: \(\sin 2A = 2 \sin A \cos A\) সূত্র থেকে, আমরা পাই: \[ \sin 15^\circ = 2 \sin 7.5^\circ \cos 7.5^\circ \] অর্থাৎ, \[ \sin 7.5^\circ \cos 7.5^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{2} \] অতএব, \[ \cos 7.5^\circ \sin 7.5^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{2} \] এখন, মূল সমীকরণে: \[ 16 \cos 30^\circ \cos 15^\circ \times \cos 7.5^\circ \sin 7.5^\circ \] এতে স্থানান্তর করি: \[ 16 \cos 30^\circ \cos 15^\circ \times \frac{\sin 15^\circ}{2} \] এবং, সমাধান করি: \[ 16 \times \frac{1}{2} \times \cos 30^\circ \times \cos 15^\circ \times \sin 15^\circ \] অর্থাৎ: \[ 8 \times \cos 30^\circ \times \cos 15^\circ \times \sin 15^\circ \] ধাপ ২: মানগুলি জানি: \[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos 15^\circ = \cos (45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] \[ \sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] ধাপ ৩: মূল সমাধানে স্থানান্তর করি: \[ 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] প্রথমে, 8 ও \(\frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3} \] অতএব, সমান হবে: \[ 4 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] প্রথম দুটি টার্মের গুণফল: \[ \cancel{4} \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \sqrt{3} \times (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \] তাহলে, সম্পূর্ণ সমাধান: \[ \sqrt{3} \times (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] এখন, \((\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})\) গুণফল: \[ (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = 4 \] অতএব, সমাধান: \[ \frac{\sqrt{3} \times 4}{4} = \sqrt{3} \] **অতএব, উত্তর: \(\boxed{\sqrt{3}}\)**