যদি A+B=π/2 হয় তবে, cos ²A-cos²B=?

🤔 দেওয়া আছে, \(A + B = \frac{\pi}{2}\)।

আমাদের \(\cos^2 A - \cos^2 B\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। 🧐

আমরা জানি, \(A + B = \frac{\pi}{2}\) হলে, \(A = \frac{\pi}{2} - B\) হবে। 🤓

সুতরাং, \(\cos A = \cos(\frac{\pi}{2} - B) = \sin B\) হবে। 🤩

এখন, \(\cos^2 A - \cos^2 B = (\sin B)^2 - \cos^2 B = \sin^2 B - \cos^2 B\)।

আমরা জানি, \(\cos^2 B - \sin^2 B = \cos 2B\)। 🤯

তাহলে, \(\sin^2 B - \cos^2 B = -(\cos^2 B - \sin^2 B) = -\cos 2B\)।

আবার, \(A + B = \frac{\pi}{2}\) হলে, \(2A + 2B = \pi\) হবে। সুতরাং, \(2A = \pi - 2B\) বা \(2B = \pi - 2A\) 🤔।

তাহলে, \(-\cos 2B = -\cos (\pi - 2A) = - (-\cos 2A) = \cos 2A\)।

আমরা জানি, \(\cos 2A = \cos (A + A) = \cos A \cos A - \sin A \sin A = \cos^2 A - \sin^2 A\)। 😲

এখন, \(A = \frac{\pi}{2} - B\) হলে, \(\sin A = \sin (\frac{\pi}{2} - B) = \cos B\)।

তাহলে, \(\cos 2A = \cos^2 A - \cos^2 B\)। 😁

আমরা \(\cos 2B\) এর সূত্র ব্যবহার করে পাই, \(\cos 2B = \cos (B + B) = \cos B \cos B - \sin B \sin B = \cos^2 B - \sin^2 B\)।

যেহেতু, \(A + B = \frac{\pi}{2}\), তাই \(B = \frac{\pi}{2} - A\)। 🧐

অতএব, \(\sin(B - A) = \sin((\frac{\pi}{2} - A) - A) = \sin(\frac{\pi}{2} - 2A) = \cos(2A)\)।

আবার, \(\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A = \cos^2 A - \cos^2 B\) । সুতরাং, \(\cos^2 A - \cos^2 B = \sin(B-A)\) 🥰।

সুতরাং, \(\cos^2 A - \cos^2 B = \sin(B - A)\)। 🎉