\( \frac{\sin 75^\circ + \sin 15^\circ}{\sin 75^\circ - \sin 15^\circ} \) এর মান-

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\frac{\sin 75^\circ + \sin 15^\circ}{\sin 75^\circ - \sin 15^\circ}\) এর মান-

উত্তর: \( \sqrt{3} \)

সমাধান:

প্রথমে, আমরা সাইন যোগফল ও বিয়োগফল সূত্র ব্যবহার করব।

সাইন যোগফল সূত্র:

\[ \sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A + B}{2}\right) \cos \left(\frac{A - B}{2}\right) \]

সাইন বিয়োগফল সূত্র:

\[ \sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A + B}{2}\right) \sin \left(\frac{A - B}{2}\right) \]

প্রতিস্থাপন করি:

\[ \frac{\sin 75^\circ + \sin 15^\circ}{\sin 75^\circ - \sin 15^\circ} = \frac{2 \sin \left(\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\right) \cos \left(\frac{75^\circ - 15^\circ}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\right) \sin \left(\frac{75^\circ - 15^\circ}{2}\right)} \]

সরলীকরণ করি:

\[ = \frac{\sin \left( \frac{90^\circ}{2} \right) \cos \left( \frac{60^\circ}{2} \right)}{\cos \left( \frac{90^\circ}{2} \right) \sin \left( \frac{60^\circ}{2} \right)} = \frac{\sin 45^\circ \cos 30^\circ}{\cos 45^\circ \sin 30^\circ} \]

এখন, মানগুলো জানি:

\[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \]

প্রতিস্থাপন করি:

\[ = \frac{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \left( \frac{1}{2} \right)} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{6}/4}{\sqrt{2}/4} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} \]

সরলীকরণ করি:

\[ = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3} \]

অতএব, সংশ্লিষ্ট মান হলো:

\[ \boxed{\sqrt{3}} \]