\( \cos^2 0^\circ + \cos^2 10^\circ + \cos^2 20^\circ + ... + \cos^2 90^\circ =? \)

Another Explanation (5):

সমাধান:

আমাদের লক্ষ্য হলো নিম্নলিখিত সমষ্টির মান নির্ণয়:

\[ S = \sum_{k=0}^{9} \cos^2 (10^\circ \times k) \] অর্থাৎ, \[ S = \cos^2 0^\circ + \cos^2 10^\circ + \cos^2 20^\circ + \dots + \cos^2 80^\circ + \cos^2 90^\circ \]

ধাপ 1: ট্রিগোনোমেট্রিক সমীকরণ ব্যবহার

আমরা জানি, \[ \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \] অতএব, \[ S = \sum_{k=0}^{9} \frac{1 + \cos 2 \times 10^\circ \times k}{2} \]

ধাপ 2: সমষ্টি বিভক্ত করা

\[ S = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{9} 1 + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{9} \cos (20^\circ \times k) \] প্রথম সমষ্টি সহজ: \[ \sum_{k=0}^{9} 1 = 10 \] অতএব, \[ S = \frac{10}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{9} \cos (20^\circ \times k) = 5 + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{9} \cos (20^\circ \times k) \]

ধাপ 3: দ্বিতীয় সমষ্টির মান নির্ণয়

আমরা জানি, \[ \sum_{k=0}^{n-1} \cos (a + d k) = \frac{\sin \left( \frac{n d}{2} \right)}{\sin \left( \frac{d}{2} \right)} \cos \left( a + \frac{(n-1)d}{2} \right) \] এখানে, \[ a = 0^\circ, \quad d = 20^\circ, \quad n=10 \] অর্থাৎ, \[ \sum_{k=0}^{9} \cos (20^\circ \times k) = \frac{\sin \left( \frac{10 \times 20^\circ}{2} \right)}{\sin \left( \frac{20^\circ}{2} \right)} \times \cos \left( 0^\circ + \frac{(10-1) \times 20^\circ}{2} \right) \] গণনা করি: \[ \frac{\sin (100^\circ)}{\sin (10^\circ)} \times \cos (0^\circ + 90^\circ) \] এবং, \[ \sin 100^\circ = \sin (180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ \] এবং, \[ \cos 90^\circ = 0 \] অতএব, \[ \sum_{k=0}^{9} \cos (20^\circ \times k) = \frac{\sin 80^\circ}{\sin 10^\circ} \times 0 = 0 \]

শেষ পদক্ষেপ

সুতরাং, \[ S = 5 + \frac{1}{2} \times 0 = 5 \]

উত্তর:

\( \boxed{5} \)