sin(π/2^4) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \sin\left(\frac{\pi}{2^4}\right) এর মান কোনটি?

উত্তর: \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}

সমাধান:

আমরা জানি যে, \sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right) এর মান নির্ণয় করতে পারি রেকারসিভ সূত্র বা ট্রিগনোমেট্রিক সমীকরণের সাহায্যে। বিশেষ করে, \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) এর মান উল্লেখযোগ্য।

প্রথমে, মনে করি যে, \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) এর মান হচ্ছে।

আমরা জানি যে,

• \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

এছাড়া, \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) এর মান নির্ণয়ে আমরা দ্বিগুণ কোণের সূত্র ব্যবহার করতে পারি।

যেহেতু,

\[ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \] অর্থাৎ, \[ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \] এখানে, \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), তাই, \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \] অর্থাৎ, \[ \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4} \] এখন, আমরা জানি যে, \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] এবং, \[ \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2}} \] কারণ, \[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \] এখানে, \(x = \frac{\pi}{8}\), তাই, \[ \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \] এখন, সরলীকরণ করি: \[ \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \] অতএব, \[ \boxed{\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}} \] এখন, আমাদের মূল প্রশ্নঃ \[ \sin\left(\frac{\pi}{16}\right) \] এটি জন্য, আমরা আবার দ্বিগুণ কোণের সূত্র ব্যবহার করব: \[ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \] অর্থাৎ, \[ \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{16}\right) \cos\left(\frac{\pi}{16}\right) \] এবং, \[ \sin\left(\frac{\pi}{16}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)}{2}} \] তাই, \[ \sin\left(\frac{\pi}{16}\right) = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}} \] সরলীকরণ করি: \[ \sin\left(\frac{\pi}{16}\right) = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2} \] তাহলে, \[ \sin\left(\frac{\pi}{16}\right) = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2 - \sqrt{2}}} \] অর্থাৎ, \[ \boxed{\sin\left(\frac{\pi}{16}\right) = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}} \] কারণ, মানে সমাধানটি উপরের সূত্রের মাধ্যমে এসেছে। সুতরাং, \(\sin\left(\frac{\pi}{16}\right)\) এর মান হলো: \(\frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}\)।